ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 337 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Докажите, что выражение $\frac{-15}{2x^2 — 3x + 3}$ при любых значениях $x$ принимает отрицательные значения.

б) Докажите, что выражение $\frac{-24}{-3x^2 + 10x — 9}$ ни при каких значениях $x$ не принимает отрицательные значения.

а) $\frac{-15}{2x^2 — 3x + 3} < 0$;

$-15 < 0$, то есть требуется найти значения $x$ при которых:
$2x^2 — 3x + 3 > 0$;

$a = 2 > 0$, значит ветви параболы направлены вверх;

3) Нули функции:
$2x^2 — 3x + 3 = 0$;
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 — 24 = -15$;
$D \leqslant 0$, значит корней нет;

4) Схематичный рисунок:

$x \in (-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

б) $\frac{-24}{-3x^2 + 10x — 9} < 0$;

$-24 < 0$, то есть требуется найти значения $x$ при которых:
$-3x^2 + 10x — 9 > 0$;

$a = -3 < 0$, значит ветви параболы направлены вниз;

3) Нули функции:
$-3x^2 + 10x — 9 = 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 9 = 100 — 108 = -8$;
$D < 0$, значит корней нет;

4) Схематичный рисунок:

$x \in \emptyset$, что и требовалось доказать.

а) $\frac{-15}{2x^2 — 3x + 3} < 0$;

Числитель равен числу $-15$, которое меньше нуля: $-15 < 0$. Значит, чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть положительным, так как при делении отрицательного числа на положительное результат будет меньше нуля: $\frac{-}{+} = —$. Таким образом, нужно найти те значения переменной $x$, при которых выражение в знаменателе $2x^2 — 3x + 3$ больше нуля:

$2x^2 — 3x + 3 > 0$

Это квадратный трёхчлен. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$, и он положителен ($2 > 0$), значит, графиком будет парабола с ветвями, направленными вверх. Чтобы выяснить, где этот трёхчлен больше нуля, найдем его корни:

$2x^2 — 3x + 3 = 0$

Находим дискриминант:

$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 — 24 = -15$

Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $x$, а так как ветви направлены вверх, то вся парабола находится выше оси $x$, и значит выражение $2x^2 — 3x + 3$ всегда положительно при любом значении $x$. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

б) $\frac{-24}{-3x^2 + 10x — 9} < 0$;

Числитель равен числу $-24$, которое меньше нуля: $-24 < 0$. Чтобы вся дробь была отрицательной, необходимо, чтобы знаменатель был положительным: $\frac{-}{+} = —$. Ищем такие значения переменной $x$, при которых выражение в знаменателе $-3x^2 + 10x — 9$ положительно:

$-3x^2 + 10x — 9 > 0$

Это снова квадратный трёхчлен. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$, и он отрицателен ($-3 < 0$), значит, график — парабола с ветвями, направленными вниз. Попробуем найти корни уравнения:

$-3x^2 + 10x — 9 = 0$

Находим дискриминант:

$D = 10^2 — 4 \cdot (-3) \cdot (-9) = 100 — 108 = -8$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось $x$, и вся парабола лежит либо выше оси $x$, либо ниже. Так как ветви направлены вниз, и нет точек пересечения с осью, вершина параболы лежит выше оси, а вся остальная часть ниже оси. Следовательно, значение выражения $-3x^2 + 10x — 9$ всегда меньше нуля при любом $x$, то есть:

$-3x^2 + 10x — 9 < 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$

А нам нужно, чтобы выражение в знаменателе было положительным. Но оно нигде не положительно, а значит, нет таких значений $x$, при которых вся дробь была бы меньше нуля.

Ответ: $x \in \emptyset$