ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 336 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

а) $\sqrt{15 — 2a — a^2} + \sqrt{\frac{1}{2}a^2 — 2}$;

б) $\sqrt{1 — \frac{1}{4}a} + \sqrt{33 + 5a — 2a^2}$.

а) $\sqrt{15 — 2a — a^2} + \sqrt{\frac{1}{2}a^2 — 2}$:

Имеет смысл при:

$$\begin{cases} 15 — 2a — a^2 \geq 0 \\ \frac{1}{2}a^2 — 2 \geq 0 \end{cases}$$$15 — 2a — a^2 \geq 0$:

Ветви параболы направлены вниз;

Нули функции:

$$-a^2 — 2a + 15 = 0;$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64 = 8^2, \text{ тогда:}$$

$$a_1 = \frac{2 — 8}{-2} = 3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{2 + 8}{-2} = -5;$$

2) $\frac{1}{2}a^2 — 2 \geq 0$:

Ветви параболы направлены вверх;

Нули функции:

$$\frac{1}{2}a^2 — 2 = 0 \quad | \cdot 2;$$

$$a^2 — 4 = 0;$$

$$a^2 = 4, \text{ отсюда } a = \pm 2;$$

Схематичный рисунок:

$$3) \begin{cases} -5 \leq a \leq 3 \\ (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \end{cases};$$

Ответ: $[-5; -2] \cup [2; 3]$.

б) $\sqrt{1 — \frac{1}{4}a} + \sqrt{33 + 5a — 2a^2}$:

Имеет смысл при:

$$\begin{cases} 1 — \frac{1}{4}a \geq 0 \\ 33 + 5a — 2a^2 \geq 0 \end{cases}$$

$1 — \frac{1}{4}a \geq 0$:

$$-a \geq -4;$$

$$a \leq 4;$$

Ветви параболы направлены вниз;

Нули функции:

$$-2a^2 + 5a + 33 = 0;$$

$$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 33 = 25 + 264 = 289 = 17^2, \text{ тогда:}$$

$$a_1 = \frac{-5 — 17}{2 \cdot (-2)} = \frac{22}{4} = 5.5 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-5 + 17}{2 \cdot (-2)} = -3;$$

Схематический рисунок:

$$3)\{\begin{array}{l}a\le 4\\ -3\le a\le 5.5\end{array}⟹-3\le a\le 4;$$$$3) \begin{cases} a \leq 4 \\ -3 \leq a \leq 5.5 \end{cases} \implies -3 \leq a \leq 4;$$Ответ: $[-3; 4]$.

а) $\sqrt{15 — 2a — a^2} + \sqrt{\frac{1}{2}a^2 — 2}$

Выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренные выражения неотрицательны. Запишем это условие:

$15 — 2a — a^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad \frac{1}{2}a^2 — 2 \geq 0$

Рассмотрим сначала первое неравенство:

$15 — 2a — a^2 \geq 0$

Приведём его к стандартному виду квадратного неравенства. Для этого перепишем в виде:

$-a^2 — 2a + 15 \geq 0$

Домножим обе части на $-1$, меняя знак неравенства:

$a^2 + 2a — 15 \leq 0$

Решим соответствующее уравнение:

$a^2 + 2a — 15 = 0$

Найдём дискриминант:

$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5$, $a_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$

Так как ветви параболы вверх, знак неравенства$\leq 0$, значит решение:

$-5 \leq a \leq 3$

Теперь второе неравенство:

$\frac{1}{2}a^2 — 2 \geq 0$

Умножим обе части на 2:

$a^2 — 4 \geq 0$

Найдём корни уравнения:

$a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2$

Это неравенство имеет вид

$a^2 — 4 \geq 0$, т.е. ветви вверх и знак$\geq$. Значит, решение:

$a \leq -2 \quad \text{или} \quad a \geq 2$

Пересечём оба множества:

Первое: $-5 \leq a \leq 3$

Второе: $a \leq -2 \quad \text{или} \quad a \geq 2$

Тогда пересечение: $[-5; -2] \cup [2; 3]$

Ответ: $[-5; -2] \cup [2; 3]$

б) $\sqrt{1 — \frac{1}{4}a} + \sqrt{33 + 5a — 2a^2}$

Найти область определения — значит решить систему двух неравенств:

$1 — \frac{1}{4}a \geq 0 \quad \text{и} \quad 33 + 5a — 2a^2 \geq 0$

Сначала первое неравенство:

$1 — \frac{1}{4}a \geq 0$

Переносим и домножим:

$-\frac{1}{4}a \geq -1 \Rightarrow a \leq 4$

Теперь второе неравенство:

Перепишем в стандартном виде:

$-2a^2 + 5a + 33 \geq 0$

Решим уравнение:

$-2a^2 + 5a + 33 = 0$

Дискриминант:

$D = 5^2 — 4 \cdot (-2) \cdot 33 = 25 + 264 = 289$

Корни:

$a_1 = \frac{-5 — 17}{-4} = \frac{22}{4} = 5.5$, $a_2 = \frac{-5 + 17}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$

Так как ветви параболы направлены вниз, знак$\geq$, берём промежуток между корнями:

$3 \leq a \leq 5.5$

Теперь найдём пересечение с условием $a \leq 4$:

Пересекаются промежутки: $a \leq 4$ и $3 \leq a \leq 5.5$

Ответ: $3 \leq a \leq 4$

Ответ: $[3; 4]$