ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 334 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\frac{x^2}{2} \geq \frac{4 — 3x}{5}$;

б) $\frac{7x — 8}{2} \leq \frac{3x^2}{4}$.

а) $\frac{x^2}{2} \geq \frac{4 — 3x}{5}$:

Умножим обе части на 10:
$5x^2 \geq 2(4 — 3x);$
$5x^2 \geq 8 — 6x;$
$5x^2 + 6x — 8 \geq 0;$

$a = 5 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$5x^2 + 6x — 8 = 0;$
$D = 6^2 + 4 \cdot 5 \cdot 8 = 36 + 160 = 196 = 14^2, \text{ тогда:}$
$x_1 = \frac{-6 — 14}{2 \cdot 5} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 + 14}{2 \cdot 5} = 0{,}8;$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [0{,}8; +\infty)$

б) $\frac{7x — 8}{2} \leq \frac{3x^2}{4}$

Умножим обе части на 4:
$2(7x — 8) \leq 3x^2;$
$14x — 16 \leq 3x^2;$
$-3x^2 + 14x — 16 \leq 0;$

$a = -3 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:
$-3x^2 + 14x — 16 = 0;$
$D = 14^2 — 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 — 192 = 4, \text{ тогда:}$
$x_1 = \frac{-14 — 2}{2 \cdot (-3)} = \frac{16}{6} = 2\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-14 + 2}{2 \cdot (-3)} = 2;$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; 2] \cup \left[2\frac{2}{3}; +\infty\right)$

а) $\frac{x^2}{2} \geq \frac{4 — 3x}{5}$

Преобразуем неравенство так, чтобы избавиться от дробей. Для этого найдём общий знаменатель. Общий знаменатель чисел 2 и 5 равен 10. Умножим обе части неравенства на 10:

$10 \cdot \frac{x^2}{2} \geq 10 \cdot \frac{4 — 3x}{5}$

$5x^2 \geq 2(4 — 3x)$

Раскроем скобки в правой части:

$5x^2 \geq 8 — 6x$

Перенесём всё в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$5x^2 + 6x — 8 \geq 0$

Теперь решим квадратное уравнение:

$5x^2 + 6x — 8 = 0$

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 — 4ac$:

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196$

Извлечём корень из дискриминанта:

$\sqrt{196} = 14$

Вычислим корни по формуле:

$x_1 = \frac{-6 — 14}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

$x_2 = \frac{-6 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0{,}8$

Так как коэффициент $a = 5 > 0$, парабола ветвями вверх, следовательно, неравенство $5x^2 + 6x — 8 \geq 0$ выполняется на внешних промежутках:

$x \in (-\infty; -2] \cup [0{,}8; +\infty)$

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [0{,}8; +\infty)$

б) $\frac{7x — 8}{2} \leq \frac{3x^2}{4}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4 \cdot \frac{7x — 8}{2} \leq 4 \cdot \frac{3x^2}{4}$

$2(7x — 8) \leq 3x^2$

Раскроем скобки:

$14x — 16 \leq 3x^2$

Переносим всё в одну часть, меняя знак:

$-3x^2 + 14x — 16 \leq 0$

Решим квадратное уравнение:

$-3x^2 + 14x — 16 = 0$

Найдём дискриминант:

$D = 14^2 — 4 \cdot (-3) \cdot (-16) = 196 — 192 = 4$

Корень из дискриминанта:

$\sqrt{4} = 2$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-14 — 2}{2 \cdot (-3)} = \frac{-16}{-6} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-14 + 2}{2 \cdot (-3)} = \frac{-12}{-6} = 2$

Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Неравенство $-3x^2 + 14x — 16 \leq 0$ выполняется между корнями, т.е. внутри промежутка:

$x \in [2; 2\frac{2}{3}]$

Ответ: $[2; 2\frac{2}{3}]$