ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 333 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите значение коэффициента $c$, при котором график функции $y = \frac{1}{3}x^2 + c$ проходит через точку $A(-6; 10)$. Определите, принимает ли эта функция значения, равные 20 и -20.

б) Известно, что вершина параболы находится в точке $(0; 4)$ и она пересекает ось $x$ в точке $(-4; 0)$. Запишите уравнение этой параболы. Определите координаты точек, в которых она пересекает прямую $y = -21$.

а) $y = \frac{1}{3}x^2 + c$:

1) Проходит через точку $A(-6; 10)$:
$10 = \frac{1}{3} \cdot (-6)^2 + c;$
$10 = \frac{1}{3} \cdot 36 + c;$
$10 = 12 + c;$
$c = 10 — 12 = -2;$

$y = \frac{1}{3}x^2 — 2$:

– Принимает значение, равное 20 при:
$\frac{1}{3}x^2 — 2 = 20;$
$\frac{1}{3}x^2 = 22 \quad | \cdot 3;$
$x^2 = 66, \text{ отсюда } x = \pm\sqrt{66};$

– Принимает значение, равное $-20$ при:
$\frac{1}{3}x^2 — 2 = -20;$
$\frac{1}{3}x^2 = -18 \quad | \cdot 3;$
$x^2 = -54 \quad \text{— корней нет;}$

Ответ: $c = -2$; $y = 20$ при $x = \pm\sqrt{66}$.

б) $y = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$:

1) Вершина в точке $(0; 4)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = 0, \text{ отсюда } b = 0;$
$y_0 = a \cdot 0^2 + 0 \cdot 0 + c = 4, \text{ отсюда } c = 4;$

$y = ax^2 + 4$ пересекает ось $x$ в точке $(-4; 0)$:
$0 = a \cdot (-4)^2 + 4;$
$-4 = 16a, \text{ отсюда } a = -\frac{1}{4};$

3) Искомое уравнение:
$y = -\frac{1}{4}x^2 + 4;$

4) Пересекает прямую $y = -21$ при:
$-21 = -\frac{1}{4}x^2 + 4;$
$\frac{1}{4}x^2 = 25 \quad | \cdot 4;$
$x^2 = 100, \text{ отсюда } x = \pm 10;$

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$; $(-10; -21)$ и $(10; -21)$.

а) $y = \frac{1}{3}x^2 + c$

Известно, что график функции проходит через точку $A(-6; 10)$, то есть при $x = -6$ значение функции $y = 10$. Подставим координаты точки в уравнение функции:

$10 = \frac{1}{3} \cdot (-6)^2 + c$

Вычислим квадрат числа $-6$:

$(-6)^2 = 36$, подставим:

$10 = \frac{1}{3} \cdot 36 + c$

Вычислим произведение:

$\frac{1}{3} \cdot 36 = 12$, значит:

$10 = 12 + c$

Вычислим значение $c$:

$c = 10 — 12 = -2$

Таким образом, функция имеет вид:

$y = \frac{1}{3}x^2 — 2$

Теперь определим, принимает ли эта функция значения 20 и $-20$.

Пусть $y = 20$:

$\frac{1}{3}x^2 — 2 = 20$

Прибавим 2 к обеим частям:

$\frac{1}{3}x^2 = 22$

Умножим обе части на 3:

$x^2 = 66$

Решим уравнение:

$x = \pm\sqrt{66}$

Следовательно, значение 20 функция принимает при $x = \pm\sqrt{66}$

Теперь проверим, может ли функция принять значение $-20$:

$\frac{1}{3}x^2 — 2 = -20$

Прибавим 2 к обеим частям:

$\frac{1}{3}x^2 = -18$

Умножим на 3:

$x^2 = -54$

Корней нет, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, значение $-20$ функция не принимает.

Ответ: $c = -2$; $y = 20$ при $x = \pm\sqrt{66}$

б) $y = ax^2 + bx + c$, $a \ne 0$

Известно, что вершина параболы находится в точке $(0; 4)$. Координата вершины $x_0$ находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Подставим $x_0 = 0$:

$0 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow b = 0$

Также известно, что $y_0 = 4$. Подставим в уравнение параболы:

$y = a \cdot 0^2 + 0 \cdot 0 + c = 4 \Rightarrow c = 4$

Теперь уравнение принимает вид:

$y = ax^2 + 4$

Из условия: парабола пересекает ось $x$ в точке $(-4; 0)$. Подставим координаты точки в уравнение:

$0 = a \cdot (-4)^2 + 4$

Вычислим квадрат:

$0 = 16a + 4$

Вычислим значение $a$:

$16a = -4 \Rightarrow a = -\frac{1}{4}$

Таким образом, уравнение параболы:

$y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$

Теперь определим координаты точек пересечения графика функции с прямой $y = -21$

Приравняем:

$-21 = -\frac{1}{4}x^2 + 4$

Вычтем 4:

$-25 = -\frac{1}{4}x^2$

Умножим обе части на $-1$:

$25 = \frac{1}{4}x^2$

Умножим на 4:

$x^2 = 100 \Rightarrow x = \pm 10$

Подставим найденные значения $x$ в уравнение $y = -21$, координаты точек:

$(-10; -21)$ и $(10; -21)$

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$; $(-10; -21)$ и $(10; -21)$