ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 331 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции и определите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения:

а) $y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x > 2; \\ x^2 — 1, & \text{если } |x| \leq 2; \\ -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 4 — 2x, & \text{если } x > 1; \\ x^2 + 1, & \text{если } |x| \leq 1; \\ 4 + 2x, & \text{если } x < -1; \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x > 2; \\ x^2 — 1, & \text{если } |x| \leq 2; \\ -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -2; \end{cases}$

$y = \frac{6}{x}$ — уравнение гиперболы:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$

$x^2 — 1$ — уравнение параболы:

$x_0 = 0$ и $y_0 = -1$;

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 0 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}$

$y = -\frac{6}{x}$ — уравнение гиперболы:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 \\ \hline y & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$

График искомой функции:

Положительные значения при: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$;

Отрицательные значения при: $x \in (-1; 1)$;

б) $y = \begin{cases} 4 — 2x, & \text{если } x > 1; \\ x^2 + 1, & \text{если } |x| \leq 1; \\ 4 + 2x, & \text{если } x < -1; \end{cases}$

$y = 4 — 2x$ — уравнение прямой:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 \\ \hline y & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$

$x^2 + 1$ — уравнение параболы:

$x_0 = 0$ и $y_0 = 1$;

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 \\ \hline y & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$

$y = 4 + 2x$ — уравнение прямой:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 \\ \hline y & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$

График искомой функции:

Положительные значения при: $x \in (-2; 2)$;

Отрицательные значения при: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$;

а) $y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x > 2; \\ x^2 — 1, & \text{если } |x| \leq 2; \\ -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -2; \end{cases}$

Рассмотрим каждый участок функции по отдельности.

Первый участок: $y = \frac{6}{x}$, при $x > 2$

Это гипербола с разрывом в точке $x = 0$, но нас интересует область $x > 2$. Выберем значения $x$, большие 2, и подставим их в формулу.

При $x = 2$, $y = \frac{6}{2} = 3$

При $x = 3$, $y = \frac{6}{3} = 2$

При $x = 6$, $y = \frac{6}{6} = 1$

Запишем значения в таблицу:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$

Второй участок: $y = x^2 — 1$, при $|x| \leq 2$, то есть $-2 \leq x \leq 2$

Это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, -1)$, так как $x_0 = 0$, $y_0 = -1$. Значения найдём по таблице:

При $x = -2$, $y = (-2)^2 — 1 = 4 — 1 = 3$

При $x = -1$, $y = (-1)^2 — 1 = 1 — 1 = 0$

При $x = 1$, $y = 1^2 — 1 = 1 — 1 = 0$

При $x = 2$, $y = 4 — 1 = 3$

Таблица:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 0 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}$

Третий участок: $y = -\frac{6}{x}$, при $x < -2$

Это тоже гипербола, но с противоположным знаком.

При $x = -6$, $y = -\frac{6}{-6} = 1$

При $x = -3$, $y = -\frac{6}{-3} = 2$

При $x = -2$, $y = -\frac{6}{-2} = 3$

Таблица:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 \\ \hline y & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$

Промежутки знакопостоянства функции:

Положительные значения функция принимает на тех промежутках, где значения $y > 0$. По таблицам видно:

При $x < -1$:
гипербола $y = -\frac{6}{x}$ даёт положительные значения, потому что $-6$ делим на отрицательное число (отрицательное на отрицательное даёт положительное)

При $x > 1$:
гипербола $y = \frac{6}{x}$ положительна, так как $x > 0$

Значит:

Положительные значения при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

Отрицательные значения при $x \in (-1; 1)$, так как $x^2 — 1 < 0$ только в этом промежутке

б) $y = \begin{cases} 4 — 2x, & \text{если } x > 1; \\ x^2 + 1, & \text{если } |x| \leq 1; \\ 4 + 2x, & \text{если } x < -1; \end{cases}$

Рассмотрим все три части функции.

Первый участок: $y = 4 — 2x$, при $x > 1$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $-2$.
При $x = 1$, $y = 4 — 2 \cdot 1 = 2$

При $x = 2$, $y = 4 — 2 \cdot 2 = 0$

Таблица:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 \\ \hline y & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$

Второй участок: $y = x^2 + 1$, при $-1 \leq x \leq 1$

Это парабола, которая принимает наименьшее значение при $x = 0$:
$y = 0^2 + 1 = 1$

При $x = -1$, $y = 1 + 1 = 2$
При $x = 1$, $y = 1 + 1 = 2$

Таблица:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 \\ \hline y & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$

Третий участок: $y = 4 + 2x$, при $x < -1$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $+2$

При $x = -2$, $y = 4 + 2 \cdot (-2) = 0$
При $x = -1$, $y = 4 + 2 \cdot (-1) = 2$

Таблица:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 \\ \hline y & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$

Анализируем знаки значений:

Положительные значения:
Парабола $x^2 + 1 > 0$ всегда положительна
Также выражение $4 + 2x > 0$ при $x > -2$, а $4 — 2x > 0$ при $x < 2$

Значит:

Положительные значения при $x \in (-2; 2)$

Отрицательные значения при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$