ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 330 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции и укажите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x \geq 2; \\ \frac{1}{2}x^2, & \text{если } x < 2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{если } x \geq -2; \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x \geq 2; \\ \frac{1}{2}x^2, & \text{если } x < 2; \end{cases}$

$y = \frac{4}{x}$ — уравнение гиперболы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 4 & 8 \\ \hline y & 2 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}$$

$y = \frac{1}{2}x^2$ — уравнение параболы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 8 & 2 & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$$

График искомой функции:

Функция возрастает при: $x \in [0; 2]$;

Функция убывает при: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$;

б) $y = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{если } x \geq -2; \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2; \end{cases}$

$y = -x^2 + 1$ — уравнение параболы:

$x_0 = 0$ и $y_0 = 1$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -3 & 0 & 0 & -3 & -8 \\ \hline \end{array}$$

$y = \frac{6}{x}$ — уравнение гиперболы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 \\ \hline y & -1 & -2 & -3 \\ \hline \end{array}$$

График искомой функции:

Функция возрастает при: $x \in [-2; 0]$;

Функция убывает при: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$;

а) $y = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x \geq 2; \\ \frac{1}{2}x^2, & \text{если } x < 2; \end{cases}$

первая часть: $y = \frac{4}{x}$, определена при $x > 0$, на отрезке $[2; +\infty)$
функция убывает, так как при возрастании $x$, значение $y = \frac{4}{x}$ уменьшается
построим таблицу значений:
при $x = 2$: $y = \frac{4}{2} = 2$
при $x = 4$: $y = \frac{4}{4} = 1$
при $x = 8$: $y = \frac{4}{8} = 0{,}5$

таблица:

вторая часть: $y = \frac{1}{2}x^2$, определена при $x < 2$
это парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх
функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; 2)$
при $x = -4$: $y = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$
при $x = -2$: $y = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$
при $x = 0$: $y = 0$
при $x = 2$: $y = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

таблица:

в точке $x = 2$ обе ветви дают $y = 2$, значит график непрерывен
на промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает
на промежутке $[0; 2]$ функция возрастает
на промежутке $[2; +\infty)$ функция убывает

итог:
возрастание: $x \in [0; 2]$
убывание: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$

б) $y = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{если } x \geq -2; \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2; \end{cases}$

первая часть: $y = -x^2 + 1$, парабола с ветвями вниз
координаты вершины: $x = 0$, $y = -0^2 + 1 = 1$
функция возрастает на $[-2; 0]$, убывает на $[0; +\infty)$
при $x = -2$: $y = -4 + 1 = -3$
при $x = -1$: $y = -1 + 1 = 0$
при $x = 1$: $y = -1 + 1 = 0$
при $x = 2$: $y = -4 + 1 = -3$
при $x = 3$: $y = -9 + 1 = -8$

таблица:

вторая часть: $y = \frac{6}{x}$, определена при $x < -2$, гипербола
функция убывает, так как при уменьшении $x$, значение $y = \frac{6}{x}$ увеличивается по модулю и остаётся отрицательным
при $x = -6$: $y = -1$
при $x = -3$: $y = -2$
при $x = -2$: $y = -3$

таблица:

в точке $x = -2$ обе ветви дают $y = -3$, график непрерывен
на $(-\infty; -2]$ функция убывает
на $[-2; 0]$ функция возрастает
на $[0; +\infty)$ функция убывает

итог:
возрастание: $x \in [-2; 0]$
убывание: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$