ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 329 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=2x^2-12x+11$. По графику определите, какие значения принимает функция, если $0\le x\le 4$.

б) $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+1$. По графику определите, какие значения принимает функция, если $-2\le x\le 4$.

а) $y=2x^2-12x+11$:

$\mathrm{1)\; a}=2>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Координаты вершины параболы:
$x=-\frac{-12}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3;$
$y=2\cdot 3^2-12\cdot 3+11=18-36+11=-7;$

3) Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& 0& 1& 2& 4& 5& 6\\ y& 11& 1& -5& -5& 1& 11\end{array}}$$

График искомой функции:

При $0\le x\le 4$ принимает значения: $y\in [-7;11]$.

б) $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+1$:

$\mathrm{1)\; a}=-\frac{1}{2}<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Координаты вершины параболы:
$x=-\frac{2}{2\cdot (-0.5)}=2;$
$y=-\frac{1}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2+1=-2+4+1=3;$

3) Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -2& 0& 4& 6\\ y& -5& 1& 1& -5\end{array}}$$

График искомой функции:

При $-2\le x\le 4$ принимает значения: $y\in [-5;3]$.

а) $y=2x^2-12x+11$

коэффициент при $x^2$: $a=2>0$, значит ветви параболы направлены вверх
приведём квадратный трёхчлен к вершиной форме:
используем формулу координаты вершины:
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3$
найдём значение функции в точке вершины:
$y_0=2\cdot 3^2-12\cdot 3+11=2\cdot 9-36+11=18-36+11=-7$
вершина параболы: $(3,-7)$

подставим значения $x$ для построения таблицы:

при $x=0$: $y=2\cdot 0^2-12\cdot 0+11=11$
при $x=1$: $y=2\cdot 1^2-12\cdot 1+11=2-12+11=1$
при $x=2$: $y=2\cdot 4-24+11=8-24+11=-5$
при $x=4$: $y=2\cdot 16-48+11=32-48+11=-5$
при $x=5$: $y=2\cdot 25-60+11=50-60+11=1$
при $x=6$: $y=2\cdot 36-72+11=72-72+11=11$

таблица значений:

минимальное значение достигается в вершине, при $x=3$: $y=-7$
максимальное значение на отрезке $[0;4]$ — при $x=0$: $y=11$

при $0\le x\le 4$, значения функции $y\in [-7;11]$

б) $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+1$

коэффициент при $x^2$: $a=-\frac{1}{2}<0$, значит ветви параболы направлены вниз
найдём координаты вершины:
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot (-\frac{1}{2})}=-\frac{2}{-1}=2$

значение функции в вершине:
$y_0=-\frac{1}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2+1=-\frac{1}{2}\cdot 4+4+1=-2+4+1=3$

вершина параболы: $(2,3)$

подставим значения $x$ для построения таблицы:

при $x=-2$:
$y=-\frac{1}{2}\cdot (-2{)}^2+2\cdot (-2)+1=-\frac{1}{2}\cdot 4-4+1=-2-4+1=-5$

при $x=0$:
$y=-\frac{1}{2}\cdot 0^2+2\cdot 0+1=0+0+1=1$

при $x=4$:
$y=-\frac{1}{2}\cdot 4^2+2\cdot 4+1=-\frac{1}{2}\cdot 16+8+1=-8+8+1=1$

при $x=6$:
$y=-\frac{1}{2}\cdot 36+12+1=-18+13=-5$

таблица значений:

максимум функции при $x=2$: $y=3$
минимальное значение на отрезке $[-2;4]$: $y=-5$

при $-2\le x\le 4$, значения функции $y\in [-5;3]$