ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 328 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Постройте график функции $y = \frac{2x — x^2}{2x + 4}$. Определите множество значений $x$, при которых значения функции отрицательны.
б) Постройте график функции $y = \frac{x^3 — x^2 — 2x}{x — 2}$. Определите множество значений $x$, при которых значения функции положительны.

а) $y = \frac{4x — x^3}{2x + 4}$:

$y = \frac{x(4 — x^2)}{2(x + 2)} = \frac{x(2 — x)(2 + x)}{2(x + 2)} = \frac{2x — x^2}{2} = x — \frac{1}{2}x^2;$

1) Имеет смысл при:
$2x + 4 \neq 0,$ отсюда $x \neq -2;$

$y \neq -2 — \frac{1}{2} \cdot 4 \Rightarrow y \neq -4;$

$y = x — \frac{1}{2}x^2$ — уравнение параболы:
$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-0.5)} = 1$ и
$y_0 = 1 — \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2};$

Таблица значений:

График искомой функции:

Значения отрицательны при:
$x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (2; +\infty)$

б) $y = \frac{x^3 — x^2 — 2x}{x — 2}$:

$y = \frac{x(x^2 — x — 2)}{x — 2};$

1) Имеет смысл при:
$x — 2 \neq 0,$ отсюда $x \neq 2;$

2) Разложим на множители:
$x^2 — x — 2 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,$ тогда:
$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$
$x^2 — x — 2 = (x + 1)(x — 2);$

3) Получим функцию:
$y = \frac{x(x — 2)(x + 1)}{x — 2} = x(x + 1) = x^2 + x;$

$y \neq 2^2 + 2 \Rightarrow y \neq 6;$

$y = x^2 + x$ — уравнение параболы:
$x_0 = -\frac{1}{2}, \quad y_0 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{2} = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} = -\frac{1}{2};$

Таблица значений:

График искомой функции:

Значения положительны при:
$x \in (-\infty; -1) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$

а) $y = \frac{4x — x^3}{2x + 4}$

Представим числитель в разложенном виде:
$y = \frac{4x — x^3}{2x + 4} = \frac{-x^3 + 4x}{2x + 4}$

Вынесем $x$ за скобки в числителе:
$y = \frac{x(-x^2 + 4)}{2(x + 2)}$

Представим выражение $-x^2 + 4$ как разность квадратов:
$-x^2 + 4 = -(x^2 — 4) = -(x — 2)(x + 2)$

Тогда:
$y = \frac{x \cdot (-(x — 2)(x + 2))}{2(x + 2)}$

Сократим на $x + 2$, если $x \ne -2$:
$y = \frac{-x(x — 2)}{2} = \frac{-x^2 + 2x}{2} = x — \frac{1}{2}x^2$

Область определения: знаменатель $2x + 4 \ne 0$, значит $x \ne -2$

Проверим значение функции при $x = -2$:
подставим в выражение $y = x — \frac{1}{2}x^2$:
$y = -2 — \frac{1}{2} \cdot 4 = -2 — 2 = -4$

Значит, функция не определена при $x = -2$, а также не принимает значения $y = -4$, т.к. при $x = -2$ возникает разрыв

Функция $y = x — \frac{1}{2}x^2$ — это квадратичная функция.
Стандартный вид: $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$

Найдём вершину параболы. Координата вершины по формуле:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 1$

Подставим в выражение:
$y_0 = 1 — \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

Точка максимума: $(1, \frac{1}{2})$

Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный

Составим таблицу значений:

Промежутки знакоположительности и знакoотрицательности:
$y < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (2; +\infty)$
$y = 0$ при $x = 0$ и $x = 2$
$y > 0$ при $x \in (0; 2)$

График имеет разрыв при $x = -2$ и удаляет значение $y = -4$

б) $y = \frac{x^3 — x^2 — 2x}{x — 2}$

Разложим числитель:
$x^3 — x^2 — 2x = x(x^2 — x — 2)$

Разложим квадратный трёхчлен:
$x^2 — x — 2 = (x — 2)(x + 1)$

Тогда:
$y = \frac{x(x — 2)(x + 1)}{x — 2}$

Сократим на $x — 2$, если $x \ne 2$:
$y = x(x + 1) = x^2 + x$

Область определения: $x \ne 2$

При $x = 2$, значение функции должно быть:
$y = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$ — но оно исключается

Значит, $y \ne 6$

Функция $y = x^2 + x$ — парабола с ветвями вверх
Вершина параболы:
$x_0 = -\frac{1}{2}$
$y_0 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

Составим таблицу значений:

Нули функции:
$x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0, \, x = -1$

Промежутки знакоположительности:
$y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$

$y = 0$ при $x = -1$ и $x = 0$

$y < 0$ при $x \in (-1; 0)$

Разрыв в точке $x = 2$, значение $y = 6$ исключается из множества значений функции