ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 321 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \frac{2x + 7}{x + 3}$;

б) $y = \frac{4x + 2}{x + 1}$.

а) $y = \frac{2x + 7}{x + 3} = \frac{2(x + 3) + 1}{x + 3} = 2 + \frac{1}{x + 3}$

Вертикальная асимптота: $x = -3$

Горизонтальная асимптота: $y = 2$

б) $y = \frac{4x + 2}{x + 1} = \frac{4(x + 1) — 2}{x + 1} = 4 — \frac{2}{x + 1}$

Вертикальная асимптота: $x = -1$

Горизонтальная асимптота: $y = 4$

а) $y = \frac{2x + 7}{x + 3} = \frac{2(x + 3) + 1}{x + 3} = \frac{2(x + 3)}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} = 2 + \frac{1}{x + 3}$

функция представлена в виде суммы постоянного выражения $2$ и дробной части $\frac{1}{x + 3}$. дробная часть стремится к нулю при $x \to \pm\infty$, значит, при удалении от нуля график приближается к прямой $y = 2$, которая является горизонтальной асимптотой

вертикальная асимптота — значение $x$, при котором знаменатель $x + 3$ обращается в ноль:
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

вертикальная асимптота: $x = -3$

горизонтальная асимптота: $y = 2$

вычислим значения функции при различных $x$:

при $x = -5$:
$y = \frac{2(-5) + 7}{-5 + 3} = \frac{-10 + 7}{-2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$

при $x = -4$:
$y = \frac{2(-4) + 7}{-4 + 3} = \frac{-8 + 7}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1$

при $x = -3.5$:
$y = \frac{2(-3.5) + 7}{-3.5 + 3} = \frac{-7 + 7}{-0.5} = \frac{0}{-0.5} = 0$

при $x = -2.5$:
$y = \frac{2(-2.5) + 7}{-2.5 + 3} = \frac{-5 + 7}{0.5} = \frac{2}{0.5} = 4$

при $x = -2$:
$y = \frac{2(-2) + 7}{-2 + 3} = \frac{-4 + 7}{1} = \frac{3}{1} = 3$

при $x = -1$:
$y = \frac{2(-1) + 7}{-1 + 3} = \frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$

таблица:

б) $y = \frac{4x + 2}{x + 1} = \frac{4(x + 1) — 2}{x + 1} = \frac{4(x + 1)}{x + 1} — \frac{2}{x + 1} = 4 — \frac{2}{x + 1}$

анализ аналогичен: дробная часть стремится к нулю при $x \to \pm\infty$, значит график приближается к прямой $y = 4$, которая является горизонтальной асимптотой

вертикальная асимптота:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

горизонтальная асимптота: $y = 4$

вычислим значения функции:

при $x = -5$:
$y = \frac{4(-5) + 2}{-5 + 1} = \frac{-20 + 2}{-4} = \frac{-18}{-4} = \frac{9}{2} = 4 \frac{1}{2}$

при $x = -3$:
$y = \frac{4(-3) + 2}{-3 + 1} = \frac{-12 + 2}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$

при $x = -2$:
$y = \frac{4(-2) + 2}{-2 + 1} = \frac{-8 + 2}{-1} = \frac{-6}{-1} = 6$

при $x = -1.5$:
$y = \frac{4(-1.5) + 2}{-1.5 + 1} = \frac{-6 + 2}{-0.5} = \frac{-4}{-0.5} = 8$

при $x = -0.5$:
$y = \frac{4(-0.5) + 2}{-0.5 + 1} = \frac{-2 + 2}{0.5} = \frac{0}{0.5} = 0$

при $x = 0$:
$y = \frac{4(0) + 2}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2$

при $x = 1$:
$y = \frac{4(1) + 2}{1 + 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

при $x = 3$:
$y = \frac{4(3) + 2}{3 + 1} = \frac{12 + 2}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}$

таблица: