ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 320 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \frac{x + 4}{x + 2}$;

б) $y = \frac{3 — x}{x — 1}$;

в) $y = \frac{x + 1}{x + 2}$.

Совет. В качестве образца воспользуйтесь примером 4, разобраным в тексте.

а) $y=\frac{x+4}{x+2}$$y$$= \frac{x + 4}{x + 2}$:

$y = \frac{x + 4}{x + 2} = \frac{(x + 2) + 2}{x + 2} = 1 + \frac{2}{x + 2}$;

• Вертикальная асимптота: $x = -2$;
• Горизонтальная асимптота: $y = 1$;

б) $y = \frac{3 — x}{x — 1}$:

$y = \frac{3 — x}{x — 1} = \frac{-(x — 1) + 2}{x — 1} = -1 + \frac{2}{x — 1}$;

• Вертикальная асимптота: $x = 1$;
• Горизонтальная асимптота: $y = -1$;

в) $y = \frac{x + 1}{x + 2}$:

$y = \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{(x + 2) — 1}{x + 2} = 1 — \frac{1}{x + 2}$;

• Вертикальная асимптота: $x = -2$;
• Горизонтальная асимптота: $y = 1$;

а) $y = \frac{x + 4}{x + 2}$

$y = \frac{x + 4}{x + 2} = \frac{(x + 2) + 2}{x + 2} = \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{2}{x + 2} = 1 + \frac{2}{x + 2}$

выражение представлено как сумма постоянного члена и дроби. постоянный член определяет горизонтальную асимптоту, дробная часть — отклонение от неё.

вертикальная асимптота — значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

горизонтальная асимптота находится как предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{2}{x + 2} \right) = 1$

найдём значения функции при некоторых $x$:

при $x = -6$: $y = \frac{-6 + 4}{-6 + 2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
при $x = -4$: $y = \frac{-4 + 4}{-4 + 2} = \frac{0}{-2} = 0$
при $x = -3$: $y = \frac{-3 + 4}{-3 + 2} = \frac{1}{-1} = -1$
при $x = -2.5$: $y = \frac{-2.5 + 4}{-2.5 + 2} = \frac{1.5}{-0.5} = -3$
при $x = -1.5$: $y = \frac{-1.5 + 4}{-1.5 + 2} = \frac{2.5}{0.5} = 5$
при $x = 0$: $y = \frac{0 + 4}{0 + 2} = \frac{4}{2} = 2$
при $x = 2$: $y = \frac{2 + 4}{2 + 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$

таблица:

б) $y = \frac{3 — x}{x — 1}$

преобразуем числитель:
$y = \frac{3 — x}{x — 1} = \frac{-(x — 3)}{x — 1} = \frac{-(x — 1 + 2)}{x — 1} = \frac{-(x — 1) — 2}{x — 1} = -1 — \frac{2}{x — 1}$

функция представлена как сумма постоянной и дробной части

вертикальная асимптота: $x = 1$, так как при этом знаменатель обращается в ноль

горизонтальная асимптота — предел при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \left( -1 — \frac{2}{x — 1} \right) = -1$

подставим значения:

при $x = -3$: $y = \frac{3 — (-3)}{-3 — 1} = \frac{6}{-4} = -1.5 = -1 \frac{1}{2}$
при $x = -1$: $y = \frac{3 + 1}{-1 — 1} = \frac{4}{-2} = -2$
при $x = 0$: $y = \frac{3}{-1} = -3$
при $x = 0.5$: $y = \frac{3 — 0.5}{0.5 — 1} = \frac{2.5}{-0.5} = -5$
при $x = 1.5$: $y = \frac{3 — 1.5}{1.5 — 1} = \frac{1.5}{0.5} = 3$
при $x = 2$: $y = \frac{3 — 2}{2 — 1} = \frac{1}{1} = 1$
при $x = 3$: $y = \frac{3 — 3}{3 — 1} = \frac{0}{2} = 0$
при $x = 5$: $y = \frac{3 — 5}{5 — 1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

таблица:

в) $y = \frac{x + 1}{x + 2}$

$y = \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{(x + 2) — 1}{x + 2} = \frac{x + 2}{x + 2} — \frac{1}{x + 2} = 1 — \frac{1}{x + 2}$

вертикальная асимптота — знаменатель обращается в ноль:
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

горизонтальная асимптота:
$\lim_{x \to \pm\infty} \left( 1 — \frac{1}{x + 2} \right) = 1$

подставим значения:

при $x = -4$: $y = \frac{-4 + 1}{-4 + 2} = \frac{-3}{-2} = 1.5 = 1 \frac{1}{2}$
при $x = -3$: $y = \frac{-3 + 1}{-3 + 2} = \frac{-2}{-1} = 2$
при $x = -2.5$: $y = \frac{-2.5 + 1}{-2.5 + 2} = \frac{-1.5}{-0.5} = 3$
при $x = -1.5$: $y = \frac{-1.5 + 1}{-1.5 + 2} = \frac{-0.5}{0.5} = -1$
при $x = -1$: $y = \frac{-1 + 1}{-1 + 2} = \frac{0}{1} = 0$
при $x = 0$: $y = \frac{0 + 1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$

таблица: