ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 316 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите двумя способами, что не существует таких значений $x$, при которых выполняется неравенство:

а) $x^2 — 4x + 5 < 0$;

б) $-x^2+8x-20$$>$$-x^2 + 8x — 20 > 0$.

а) $x^2 — 4x + 5 < 0$:

Первый способ:
Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 и положителен.
Найдём координаты вершины:
$x = -\frac{-4}{2} = 2$,
$y = 2^2 — 4 \cdot 2 + 5 = 4 — 8 + 5 = 1$

Минимальное значение функции — 1, оно положительно, значит парабола лежит выше оси Ox и не пересекает её.

Следовательно, не существует таких $x$, при которых $x^2 — 4x + 5 < 0$

Второй способ:
Преобразуем квадратное выражение:
$x^2 — 4x + 5 = x^2 — 2 \cdot 2x + 4 + 1 = (x — 2)^2 + 1$
Квадрат любого числа $(x — 2)^2 \geq 0$, а $+1$ делает результат строго положительным при любом $x$

Следовательно, $x^2 — 4x + 5 > 0$ при всех $x$, значит $x^2 — 4x + 5 < 0$ не выполняется ни при каком $x$

б) $-x^2 + 8x — 20 > 0$:

Первый способ:
Коэффициент при $x^2$ отрицательный, значит ветви параболы направлены вниз
Найдём координаты вершины:
$x = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = 4$,
$y = -4^2 + 8 \cdot 4 — 20 = -16 + 32 — 20 = -4$

Максимальное значение функции — $-4$, оно меньше нуля. Парабола лежит ниже оси Ox

Следовательно, не существует таких $x$, при которых $-x^2 + 8x — 20 > 0$

Второй способ:
Преобразуем выражение:
$-x^2 + 8x — 20 = -x^2 + 2 \cdot 4x — 16 — 4 = -(x — 4)^2 — 4$
Квадрат $(x — 4)^2 \geq 0$, а $-4$ делает результат строго отрицательным

Следовательно, $-x^2 + 8x — 20 < 0$ при всех $x$, и неравенство $-x^2 + 8x — 20 > 0$ не выполняется ни при каком $x$

а) $x^2 — 4x + 5 < 0$

1 способ. Графический анализ:
Функция $y = x^2 — 4x + 5$ является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, значит ветви параболы направлены вверх. Чтобы выяснить, пересекает ли парабола ось Ox и существует ли область, где функция принимает отрицательные значения, найдём дискриминант:

$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4$

Так как $D < 0$, уравнение $x^2 — 4x + 5 = 0$ не имеет действительных корней, следовательно, парабола не пересекает ось Ox. Найдём вершину параболы:

$x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

Подставим $x = 2$ в уравнение:

$y=2^2-4\cdot 2+5=4-8+5=1$

$$y = 2^2 — 4 \cdot 2 + 5 = 4 — 8 + 5 = 1

Вершина находится выше оси Ox, а так как ветви направлены вверх, функция положительна при всех $x$

Следовательно, неравенство $x^2 — 4x + 5 < 0$ не выполняется ни при каком $x$

2 способ. Выделение полного квадрата:
Преобразуем выражение:

$x^2 — 4x + 5 = x^2 — 2 \cdot 2x + 4 + 1 = (x — 2)^2 + 1$

Так как $(x — 2)^2 \geq 0$, то $(x — 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$

Следовательно, выражение $x^2 — 4x + 5$ всегда положительно, а значит не может быть меньше нуля ни при каком значении $x$

б) $-x^2 + 8x — 20 > 0$

1 способ. Графический анализ:
Функция $y = -x^2 + 8x — 20$ является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$, значит ветви параболы направлены вниз. Найдём координаты вершины:

$x = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = 4$

Подставим $x = 4$:

$y = -(4)^2 + 8 \cdot 4 — 20 = -16 + 32 — 20 = -4$

Вершина параболы находится ниже оси Ox, а так как это наибольшее значение функции, то всё множество значений функции строго меньше нуля. Следовательно, график параболы полностью расположен ниже оси Ox и не пересекает её

Таким образом, неравенство $-x^2 + 8x — 20 > 0$ не имеет решений

2 способ. Выделение полного квадрата:
Преобразуем выражение:

$-x^2 + 8x — 20 = -\left(x^2 — 8x + 20\right) = -\left(x^2 — 2 \cdot 4x + 16 + 4\right) = -\left((x — 4)^2 + 4\right)$

Так как $(x — 4)^2 \geq 0$, то $(x — 4)^2 + 4 \geq 4 > 0$

Следовательно, $-((x — 4)^2 + 4) < 0$

Значит, при всех $x$ выполняется $-x^2 + 8x — 20 < 0$, а $-x^2 + 8x — 20 > 0$ не выполняется ни при каком $x$