ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 313 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все значения $m$, при которых уравнение $m{x}^2-2x+m=0$ имеет два корня. Из чисел $-\mathrm{1,5}$; $-\mathrm{0,5}$; $0$; $\mathrm{0,5}$; $\mathrm{1,5}$ выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

$m{x}^2-2x+m=0$:

1) Уравнение имеет два корня при $D>0$:
$(2-2m)(2+2m)>0$

$\mathrm{2)\; a}=-4<0$, значит ветви направлены вниз;

3) Нули функции:
$2-2m_1=0,\text{ отсюда }{m}_1=\frac{-2}{-2}=1;$
$2+2m_2=0,\text{ отсюда }{m}_2=\frac{2}{2}=-1;$

4) Схематический рисунок:

$0{,}5$

$-1<m<1$

5) Но при $a=0$ получим линейное уравнение $-2x=0$, которое имеет только один корень, значит:
$m\in (-1;0)\cup (0;1)$

6) Удовлетворяют условию числа: $-\mathrm{0,5}$ и $\mathrm{0,5}$

$m{x}^2-2x+m=0$

Это квадратное уравнение, где коэффициенты зависят от параметра $m$:
$a=m$, $b=-2$, $c=m$

Чтобы уравнение имело два корня, необходимо выполнение условия $D>0$

Дискриминант:
$D=(-2{)}^2-4\cdot m\cdot m=4-4m^2$

Требуемое условие:
$4-4m^2>0$

Разделим обе части неравенства на 4:
$1-m^2>0$

Перенесём:
$-m^2>-1\Rightarrow m^2<1$

Получили:
$\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }<1\Rightarrow -1<m<1$

Однако нужно исключить значение $m=0$, потому что тогда уравнение становится линейным:
$-2x+0=0\Rightarrow x=0$ — только один корень

Следовательно, чтобы уравнение оставалось квадратным и имело два корня, необходимо:

$m\in (-1;0)\cup (0;1)$

Из предложенного набора чисел: $-\mathrm{1,5}$, $-\mathrm{0,5}$, $0$, $\mathrm{0,5}$, $\mathrm{1,5}$

Подходят только значения, принадлежащие интервалу $(-1;0)\cup (0;1)$, то есть:

$m=-\mathrm{0,5}$ и $m=\mathrm{0,5}$

Ответ: $-\mathrm{0,5};\mathrm{0,5}$