ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 309 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите двумя способами, что при всех значениях переменной а верно неравенство:
а) $a^2$ + а + 1 > 0; б) —$a^2$ + За — 5 < 0.
Подсказка. 1) Используйте графические соображения.
2) Выделите квадрат двучлена и сравните полученное выражение с нулём.

${\mathrm{a)\; a}}^2+a+1>0$;

1) Первый способ:
Ветви параболы направлены вверх;
Вершина находится в точке с координатами:
$a=-\frac{1}{2}=-0,5$ и $y=(-0,5{)}^2-0,5+1=0,25+0,5=0,75$;
Схематичный рисунок:

Значит $a^2+a+1>0$ при любых значениях $a$;
2) Второй способ:
$a^2+a+1=a^2+2\cdot \frac{1}{2}a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={(a+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}>0$;
Значит $a^2+a+1>0$ при любых значениях $a$;

б) $-a^2+3a-5<0$;

1) Первый способ:
Ветви параболы направлены вниз;
Вершина находится в точке с координатами:
$a=-\frac{3}{-2}=1,5$ и $y=-1,5^2+3\cdot 1,5-5=-2,25+4,5-5=-2,75$;
Схематичный рисунок:

Значит $-a^2+3a-5<0$ при любых значениях $a$;
2) Второй способ:
$-a^2+3a-5=-a^2+2\cdot 1,5a-2,25-2,75=-(a-1,5{)}^2-2,75<0$;
Значит $-a^2+3a-5<0$ при любых значениях $a$;

${\mathrm{a)\; a}}^2+a+1>0$;

1) Первый способ:
График функции $y=a^2+a+1$ — парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ равен $1>0$. Вершина параболы даёт минимум значения функции. Абсцисса вершины по формуле $a=-\frac{b}{2\cdot 1}=-\frac{1}{2}=-0,5$. Значение функции в вершине: $y=(-0,5{)}^2+(-0,5)+1=0,25-0,5+1=0,75$. Это минимальное значение функции и оно строго положительно. Дополнительно, дискриминант $D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$, действительных корней нет, поэтому знак функции не меняется и остаётся положительным на всей числовой оси.
Схематичный рисунок:

Значит $a^2+a+1>0$ при любых значениях $a$;
2) Второй способ:
Дополнение до полного квадрата: $a^2+a+1=a^2+2\cdot \frac{1}{2}a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={(a+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}$. Так как ${(a+\frac{1}{2})}^2\ge 0$ при любом $a$, то ${(a+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}>0$. Равенство нулю невозможно, так как даже в точке $a=-\frac{1}{2}$ значение равно $\frac{3}{4}$.
Значит $a^2+a+1>0$ при любых значениях $a$;

б) $-a^2+3a-5<0$;

1) Первый способ:
График функции $y=-a^2+3a-5$ — парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ равен $-1<0$. Вершина параболы даёт максимум значения функции. Абсцисса вершины по формуле $a=-\frac{3}{2\cdot (-1)}=\frac{3}{2}=1,5$. Значение функции в вершине: $y=-1,5^2+3\cdot 1,5-5=-2,25+4,5-5=-2,75$. Это максимальное значение функции и оно отрицательно. Следовательно, для любого $a$ функция строго меньше нуля. Дополнительно, дискриминант $D=3^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)=9-20=-11<0$, действительных корней нет, знак функции не меняется и остаётся отрицательным на всей оси.
Схематичный рисунок:

Значит $-a^2+3a-5<0$ при любых значениях $a$;
2) Второй способ:
Дополнение до полного квадрата: $-a^2+3a-5=-(a^2-3a)-5=-((a-1,5{)}^2-2,25)-5=$

$-(a-1,5{)}^2+2,25-5=-(a-1,5{)}^2-2,75$. Так как $(a-1,5{)}^2\ge 0$, то $-(a-1,5{)}^2\le 0$, следовательно $-(a-1,5{)}^2-2,75\le -2,75<0$ при любом $a$. Равенство нулю невозможно, так как к $\le 0$ добавляется ещё $-2,75$.
Значит $-a^2+3a-5<0$ при любых значениях $a$;