ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 305 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите положительные решения неравенства:
$x^2+2x-2<0.$

б) Найдите отрицательные решения неравенства:
$x^2-2x-1>0.$

а) $x^2+2x-2<0$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x^2+2x-2=0;$
$D=2^2+4\cdot 2=4+8=12,\text{тогда:}$
$x=\frac{-2\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2}=-1\pm \sqrt{3};$

3) Схематический рисунок:

$-1-\sqrt{3}<x<-1+\sqrt{3};$

4) Положительные решения:
$3>1\Rightarrow \sqrt{3}>1;$
$-1+\sqrt{3}>0\text{и}-1-\sqrt{3}<0;$
$0<x<-1+\sqrt{3};$

Ответ: $(0;\sqrt{3}-1)$.

б) $x^2-2x-1>0$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x^2-2x-1=0;$
$D=2^2+4=4+4=8,\text{тогда:}$
$x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2};$

3) Схематический рисунок:

4) Отрицательные решения:
$2>1\Rightarrow \sqrt{2}>1;$
$1+\sqrt{2}>0\text{и}1-\sqrt{2}<0;$
$1-\sqrt{2}<x<0;$

Ответ: $(-\mathrm{\infty };1-\sqrt{2})$.

а) $x^2+2x-2<0$:
$a=1>0$, значит ветви параболы направлены вверх
Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2+2x-2$ и найдём его нули:
$x^2+2x-2=0$
Найдём дискриминант:
$D=2^2+4\cdot 1\cdot 2=4+8=12$
Корни уравнения:
$x=\frac{-2\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2}=-1\pm \sqrt{3}$
Промежутки знакопостоянства определяются по корням:
При $x<-1-\sqrt{3}$, выражение положительно,
при $-1-\sqrt{3}<x<-1+\sqrt{3}$, выражение отрицательно,
при $x>-1+\sqrt{3}$, выражение снова положительно
Нас интересует область, где $x^2+2x-2<0$, то есть между корнями
Из этого интервала выделим положительные значения:
Найдём оценку $\sqrt{3}\approx 1.732$, тогда
$-1+\sqrt{3}\approx 0.732$, $-1-\sqrt{3}\approx -2.732$
Таким образом, положительная часть интервала:
$0<x<-1+\sqrt{3}$

Ответ: $(0;\sqrt{3}-1)$

б) $x^2-2x-1>0$:
$a=1>0$, значит ветви параболы направлены вверх
Решим уравнение $x^2-2x-1=0$
Найдём дискриминант:
$D=(-2{)}^2+4\cdot 1\cdot 1=4+4=8$
Найдём корни:
$x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$
Промежутки:
при $x<1-\sqrt{2}$, выражение положительно
при $1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}$, выражение отрицательно
при $x>1+\sqrt{2}$, выражение снова положительно
Нас интересует область, где выражение больше нуля, то есть:
$x<1-\sqrt{2}$ и $x>1+\sqrt{2}$
Из этого выделим отрицательные значения
$\sqrt{2}\approx 1.414\Rightarrow 1-\sqrt{2}\approx -0.414$,
$1+\sqrt{2}\approx 2.414$
Таким образом, отрицательная часть:
$x<1-\sqrt{2}$

Ответ: $(-\mathrm{\infty };1-\sqrt{2})$