ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 304 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство:
а) $\frac{100}{(x — 5)(x — 10)} > 0$;
б) $\frac{1}{(2 — x)(x + 4)} \leq 0$;
в) $\frac{-20}{(1 — x)(3 — x)} < 0$;
г) $\frac{-1}{(x + 6)(x + 7)} \geq 0$.

а) $\frac{100}{(x — 5)(x — 10)} > 0$:
$(x — 5)(x — 10) > 0;$
$x^2 — 5x — 10x + 50 > 0;$

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x_1 — 5 = 0, \text{отсюда } x_1 = 5;$
$x_2 — 10, \text{отсюда } x_2 = 10;$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; 5) \cup (10; +\infty)$.

б) $\frac{1}{(2 — x)(x + 4)} \leq 0$:
$(2 — x)(x + 4) < 0;$
$2x + 8 — x^2 — 4x < 0;$

$a = -1 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:
$2 — x_1 = 0, \text{отсюда } x_1 = 2;$
$x_2 + 4 = 0, \text{отсюда } x_2 = -4;$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

в) $\frac{-20}{(1 — x)(3 — x)} < 0$:
$(1 — x)(3 — x) > 0;$
$3 — x — 3x + x^2 > 0;$

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$1 — x_1 = 0, \text{отсюда } x_1 = 1;$
$3 — x_2 = 0, \text{отсюда } x_2 = 3;$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

г) $\frac{-1}{(x + 6)(x + 7)} \geq 0$:
$(x + 6)(x + 7) < 0;$
$x^2 + 7x + 6x + 42 < 0;$

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x_1 + 6 = 0, \text{отсюда } x_1 = -6;$
$x_2 + 7 = 0, \text{отсюда } x_2 = -7;$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-7; -6)$.

а) $\frac{100}{(x — 5)(x — 10)} > 0$:
$\frac{100}{(x — 5)(x — 10)} > 0 \Rightarrow (x — 5)(x — 10) > 0$
Рассмотрим знак произведения двух множителей $(x — 5)$ и $(x — 10)$.
Произведение положительно, когда оба множителя положительны или оба отрицательны.
Найдём нули функции:
$x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
$x — 10 = 0 \Rightarrow x = 10$
На числовой прямой точки 5 и 10 делят её на три промежутка:

$x < 5 \Rightarrow (x — 5) < 0, (x — 10) < 0 \Rightarrow (x — 5)(x — 10) > 0$

$5 < x < 10 \Rightarrow (x — 5) > 0, (x — 10) < 0 \Rightarrow (x — 5)(x — 10) < 0$

$x > 10 \Rightarrow (x — 5) > 0, (x — 10) > 0 \Rightarrow (x — 5)(x — 10) > 0$
Нули не входят, так как неравенство строгое.

Ответ: $(-\infty; 5) \cup (10; +\infty)$

б) $\frac{1}{(2 — x)(x + 4)} \leq 0$:
$\frac{1}{(2 — x)(x + 4)} \leq 0 \Rightarrow (2 — x)(x + 4) \geq 0 \Rightarrow (x — 2)(x + 4) \leq 0$
Приведем множитель $(2 — x)$ к виду $-(x — 2)$, тогда:
$(2 — x)(x + 4) = -(x — 2)(x + 4) \Rightarrow -(x — 2)(x + 4) \leq 0 \Rightarrow (x — 2)(x + 4) \geq 0$
Найдём нули:
$x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$
На числовой прямой точки -4 и 2 делят её на интервалы:

$x < -4 \Rightarrow (x — 2) < 0, (x + 4) < 0 \Rightarrow (x — 2)(x + 4) > 0$

$-4 < x < 2 \Rightarrow (x — 2) < 0, (x + 4) > 0 \Rightarrow (x — 2)(x + 4) < 0$

$x > 2 \Rightarrow (x — 2) > 0, (x + 4) > 0 \Rightarrow (x — 2)(x + 4) > 0$
Ищем где $(x — 2)(x + 4) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$
Так как исходное выражение имело знак $\leq 0$, то берём знак противоположный:

Ответ: $(-4; 2)$

в) $\frac{-20}{(1 — x)(3 — x)} < 0$:
$\frac{-20}{(1 — x)(3 — x)} < 0 \Rightarrow \frac{20}{(1 — x)(3 — x)} > 0$
Преобразуем выражение:
$(1 — x)(3 — x) = ((-1)(x — 1))(( -1)(x — 3)) = (x — 1)(x — 3)$
Тогда:
$\frac{20}{(x — 1)(x — 3)} > 0 \Rightarrow (x — 1)(x — 3) > 0$
Нули функции:
$x = 1, x = 3$
Рассматриваем интервалы:

$x < 1 \Rightarrow (x — 1)(x — 3) > 0$

$1 < x < 3 \Rightarrow (x — 1)(x — 3) < 0$

$x > 3 \Rightarrow (x — 1)(x — 3) > 0$

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

г) $\frac{-1}{(x + 6)(x + 7)} \geq 0$:
$\frac{-1}{(x + 6)(x + 7)} \geq 0 \Rightarrow (x + 6)(x + 7) \leq 0$
Найдём нули функции:
$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$
$x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$
Рассматриваем интервалы:

$x < -7 \Rightarrow (x + 6)(x + 7) > 0$

$-7 < x < -6 \Rightarrow (x + 6)(x + 7) < 0$

$x > -6 \Rightarrow (x + 6)(x + 7) > 0$
Подходит где $(x + 6)(x + 7) \leq 0 \Rightarrow x \in [-7; -6]$, но нули нельзя брать — знаменатель.

Ответ: $(-7; -6)$