ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 301 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство

а) $(x — 2)^2 > 4 — x^2$;

б) $3x^2 — 6x < 8 — 6x^2$;

в) $(x + 3)^2 < x^2 — 9$;

г) $5x^2 + 17x > 5x — 4$.

а) $(x — 2)^2 > 4 — x^2$:

$$x^2 — 4x + 4 — 4 + x^2 > 0;$$ $$2x^2 — 4x > 0;$$ $$2x(x — 2) > 0;$$

$a = 2 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$2x_1 = 0, \text{отсюда } x_1 = 0;$$ $$x_2 — 2 = 0, \text{отсюда } x_2 = 2;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

б) $(x + 3)^2 < x^2 — 9$:

$$x^2+6x+9-x^2+9<0;$$

$$x^2 + 6x + 9 — x^2 + 9 < 0;$$ $$6x+18<0;$$

$$6x + 18 < 0;$$ $$x<-\frac{18}{6};$$

$$x < -\frac{18}{6};$$ $$x < -3;$$

Ответ: $(-3; +\infty)$.

в) $3x^2 — 6x < 8 — 6x^2$:

$$3x^2 — 6x — 8 + 6x^2 < 0;$$ $$9x^2 — 6x — 8 < 0;$$

$a = 9 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$9x^2-6x-8=0;$$

$$9x^2 — 6x — 8 = 0;$$ $$D=6^2+4\cdot 9\cdot 8=36+288=324={18}^2,\text{тогда:}$$

$$D = 6^2 + 4 \cdot 9 \cdot 8 = 36 + 288 = 324 = 18^2, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{6 — 18}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 18}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3};$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $\left( -\frac{2}{3}; \frac{4}{3} \right)$.

г) $5x^2 + 17x > 5x — 4$:

$$5x^2+17x-5x+4>0;$$

$$5x^2 + 17x — 5x + 4 > 0;$$ $$5x^2 + 12x + 4 > 0;$$

$a = 5 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$5x^2+12x+4=0;$$

$$5x^2 + 12x + 4 = 0;$$ $$D={12}^2-4\cdot 5\cdot 4=144-80=64,\text{тогда:}$$

$$D = 12^2 — 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 — 80 = 64, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-12 — 8}{2 \cdot 5} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-12 + 8}{2 \cdot 5} = -\frac{2}{5};$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; -2) \cup \left( -\frac{2}{5}; +\infty \right)$.

а) $(x — 2)^2 > 4 — x^2$:

Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:

$$(x — 2)^2 > 4 — x^2$$ $$(x^2 — 4x + 4) > 4 — x^2$$

Теперь перенесем все на одну сторону:

$$x^2 — 4x + 4 — 4 + x^2 > 0$$ $$2x^2 — 4x > 0$$

Извлекаем общий множитель:

$$2x(x — 2) > 0$$

Для решения неравенства $2x(x — 2) > 0$ найдем нули функции:

$$2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0$$ $$x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 2 > 0$) пересекает ось $x$ в точках $x = 0$ и $x = 2$. Для неравенства $2x(x — 2) > 0$ функция будет положительной за пределами этих корней. Следовательно, решение неравенства:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

б) $(x + 3)^2 < x^2 — 9$:

Раскроем скобки и перенесем все на одну сторону:

$$(x + 3)^2 < x^2 — 9$$ $$x^2 + 6x + 9 < x^2 — 9$$

Теперь перенесем все на одну сторону:

$$x^2 + 6x + 9 — x^2 + 9 < 0$$ $$6x + 18 < 0$$

Разрешим неравенство:

$$6x < -18$$ $$x < -3$$

Ответ: $(-\infty; -3)$.

в) $3x^2 — 6x < 8 — 6x^2$:

Переносим все в одну сторону:

$$3x^2 — 6x < 8 — 6x^2$$ $$3x^2 — 6x + 6x^2 — 8 < 0$$ $$9x^2 — 6x — 8 < 0$$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

$$9x^2 — 6x — 8 = 0$$

Для нахождения корней используем дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 36 + 288 = 324 = 18^2$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{6 — 18}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{6 + 18}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 9 > 0$) пересекает ось $x$ в точках $x = -\frac{2}{3}$ и $x = \frac{4}{3}$. Для неравенства $9x^2 — 6x — 8 < 0$, функция будет отрицательной между этими корнями. Следовательно, решение неравенства:

$$x \in \left( -\frac{2}{3}; \frac{4}{3} \right)$$

Ответ: $\left( -\frac{2}{3}; \frac{4}{3} \right)$.

г) $5x^2 + 17x > 5x — 4$:

Переносим все в одну сторону:

$$5x^2 + 17x > 5x — 4$$ $$5x^2 + 17x — 5x + 4 > 0$$ $$5x^2 + 12x + 4 > 0$$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

$$5x^2 + 12x + 4 = 0$$

Для нахождения корней используем дискриминант:

$$D = 12^2 — 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 — 80 = 64$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-12 — 8}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2, \quad x_2 = \frac{-12 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 5 > 0$) пересекает ось $x$ в точках $x = -2$ и $x = -\frac{2}{5}$. Для неравенства $5x^2 + 12x + 4 > 0$ функция будет положительной за пределами этих корней. Следовательно, решение неравенства:

$$x \in (-\infty; -2) \cup \left( -\frac{2}{5}; +\infty \right)$$

Ответ: $(-\infty; -2) \cup \left( -\frac{2}{5}; +\infty \right)$.