ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 299 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $(2-x)(x-4)>0$;
б) $(x+8)(1-x)⩽0$;
в) $2x(x+3)⩾0$;
г) $0,5x(10-x)<0$.

а) $(2-x)(x-4)>0$:

$2x-8-x^2-4x>0$;

$\mathrm{1)\; a}=-1<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$2-x_1=0$, отсюда $x_1=2$;

$x_2-4=0$, отсюда $x_2=4$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(2;4)$.

б) $(x+8)(1-x)⩽0$:

$x-x^2+8-8x⩽0$;

$\mathrm{1)\; a}=-1<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$x_1+8=0$, отсюда $x_1=-8$;

$1-x_2=0$, отсюда $x_2=1$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-8]\cup [1;+\mathrm{\infty })$.

в) $2x(x+3)⩾0$:

$2x^2+6x⩾0$;

$\mathrm{1)\; a}=2>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$2x_1=0$, отсюда $x_1=0$;

$x_2+3=0$, отсюда $x_2=-3$;

3 Схематический рисунок:

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-3]\cup [0;+\mathrm{\infty })$.

г) $0.5x(10-x)<0$:

$5x-0.5x^2<0$;

$\mathrm{1)\; a}=-0.5<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$0.5x_1=0$, отсюда $x_1=0$;

$10-x_2=0$, отсюда $x_2=10$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\mathrm{\infty };0)\cup (10;+\mathrm{\infty })$.

а) $(2 — x)(x — 4) > 0$:
$(2 — x)(x — 4) = 2(x — 4) — x(x — 4) = 2x — 8 — x^2 + 4x = -x^2 + 6x — 8$, то есть неравенство эквивалентно $-x^2 + 6x — 8 > 0$.

$a = -1 < 0$: ветви параболы $y = -x^2 + 6x — 8$ направлены вниз, значит многочлен положителен строго между корнями и отрицателен вне.

Нули функции из $-x^2 + 6x — 8 = 0$. Умножим на $-1$ (знак решения не меняется, так как это уравнение): $x^2 — 6x + 8 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$. Корни $x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$, то есть $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Факторизация $-x^2 + 6x — 8 = — (x — 2)(x — 4)$. Точки разбиения числовой оси: $x = 2$, $x = 4$.

Знак на интервалах: при $x < 2$ имеем $2 — x > 0$, $x — 4 < 0$, произведение $(2 — x)(x — 4) < 0$; при $2 < x < 4$ имеем $2 — x < 0$, $x — 4 < 0$, произведение $> 0$; при $x > 4$ имеем $2 — x < 0$, $x — 4 > 0$, произведение $< 0$.

Требуется $> 0$, концы $x = 2$ и $x = 4$ не входят (строгое неравенство).

Ответ: $(2; 4)$.

б) $(x + 8)(1 — x) \leqslant 0$:
$(x + 8)(1 — x) = x(1 — x) + 8(1 — x) = x — x^2 + 8 — 8x = -x^2 — 7x + 8$, то есть неравенство эквивалентно $-x^2 — 7x + 8 \leqslant 0$.

$a = -1 < 0$: ветви параболы направлены вниз, многочлен $\leqslant 0$ вне промежутка между корнями и равен нулю в корнях.

Нули функции из $(x + 8)(1 — x) = 0$: $x + 8 = 0 \Rightarrow x_1 = -8$; $1 — x = 0 \Rightarrow x_2 = 1$.

Порядок корней: $-8 < 1$. Точки разбиения: $x = -8$, $x = 1$.

Знак на интервалах: при $x < -8$ имеем $x + 8 < 0$, $1 — x > 0$, произведение $< 0$; при $-8 < x < 1$ имеем $x + 8 > 0$, $1 — x > 0$, произведение $> 0$; при $x > 1$ имеем $x + 8 > 0$, $1 — x < 0$, произведение $< 0$.

Требуется $\leqslant 0$: берём области, где произведение $< 0$, и добавляем точки, где произведение $= 0$ (корни).

Ответ: $(-\infty; -8] \cup [1; +\infty)$.

в) $2x(x + 3) \geqslant 0$:
$2x(x + 3) = 2x^2 + 6x$, множитель $2 > 0$ на знак не влияет, поэтому эквивалентно анализу $x(x + 3) \geqslant 0$.

Нули из $x(x + 3) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

Порядок корней: $-3 < 0$. Точки разбиения: $x = -3$, $x = 0$.

Знак на интервалах: при $x < -3$ имеем $x < 0$ и $x + 3 < 0$, произведение $> 0$; при $-3 < x < 0$ имеем $x < 0$, $x + 3 > 0$, произведение $< 0$; при $x > 0$ имеем $x > 0$, $x + 3 > 0$, произведение $> 0$.

Требуется $\geqslant 0$: берём области, где произведение $> 0$, и добавляем точки $x = -3$ и $x = 0$, где произведение $= 0$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [0; +\infty)$.

г) $0.5x(10 — x) < 0$:
$0.5x(10 — x) = 5x — 0.5x^2$, множитель $0.5 > 0$ знак не меняет, эквивалентно анализу $x(10 — x) < 0$.

Нули из $x(10 — x) = 0$: $x_1 = 0$ (из $x = 0$), $x_2 = 10$ (из $10 — x = 0$).

Точки разбиения: $x = 0$, $x = 10$.

Знак на интервалах: при $x < 0$ имеем $x < 0$, $10 — x > 0$, произведение $< 0$; при $0 < x < 10$ имеем $x > 0$, $10 — x > 0$, произведение $> 0$; при $x > 10$ имеем $x > 0$, $10 — x < 0$, произведение $< 0$.

Требуется строго $< 0$: концы $x = 0$ и $x = 10$ исключаются.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (10; +\infty)$.