ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 298 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $(x-1)(x-3)⩽0$;
б) $(x+5)(x-2)>0$;
в) $(2x+6)(x+4)⩾0$;
г) $(3x-3)(x+1)<0$;
д) $2x(x-10)>0$;
е) $x(2x+3)⩽0$.

а) $(x-1)(x-3)⩽0$:

$x^2-3x-x+3⩽0$;

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$x_1-1=0$, отсюда $x_1=1$;

$x_2-3=0$, отсюда $x_2=3$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $[1;3]$.

б) $(x+5)(x-2)>0$:

$x^2-2x+5x-10>0$;

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$x_1+5=0$, отсюда $x_1=-5$;

$x_2-2=0$, отсюда $x_2=2$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-5)\cup (2;+\mathrm{\infty })$.

в) $(2x+6)(x+4)⩾0$:

$2x^2+8x+6x+24⩾0$;

$\mathrm{1)\; a}=2>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$2x_1+6=0$, отсюда $x_1=\frac{-6}{2}=-3$;

$x_2+4=0$, отсюда $x_2=-4$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-4]\cup [-3;+\mathrm{\infty })$.

г) $(3x-3)(x+1)<0$:

$3x^2+3x-3x-3<0$;

$\mathrm{1)\; a}=3>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$3x_1-3=0$, отсюда $x_1=\frac{3}{3}=1$;

$x_2+1=0$, отсюда $x_2=-1$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-1;1)$.

д) $2x(x-10)>0$:

$2x^2-20x>0$;

$\mathrm{1)\; a}=2>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$2x_1=0$, отсюда $x_1=0$;

$x_2-10=0$, отсюда $x_2=10$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\mathrm{\infty };0)\cup (10;+\mathrm{\infty })$.

е) $x(2x+3)⩽0$:

$2x^2+3x⩽0$;

$\mathrm{1)\; a}=2>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$x_1=0$;

$2x_2+3=0$, отсюда $x_2=\frac{-3}{2}$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $[-\frac{3}{2};0]$.

а) $(x — 1)(x — 3) \leqslant 0$:
Эквивалентное преобразование произведения к стандартному квадратному виду: $(x — 1)(x — 3) = x^2 — 3x — x + 3 = x^2 — 4x + 3$, следовательно имеем неравенство $x^2 — 4x + 3 \leqslant 0$.

Коэффициент $a = 1 > 0$, значит парабола $y = x^2 — 4x + 3$ направлена вверх; следовательно, выражение $x^2 — 4x + 3$ неположительно на отрезке между нулями функции и положительно вне его.

Нули функции находятся из $x^2 — 4x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, корни по формуле $x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Упорядочим корни $x_1 = 1 < x_2 = 3$; интервалы разбиения числовой оси: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

Знак на интервалах (можно проверить подстановкой точек, например $x = 0$, $x = 2$, $x = 4$): при $x \in (1; 3)$ значение $< 0$, при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ значение $> 0$, в точках $x = 1$ и $x = 3$ значение $= 0$.

Требуется $\leqslant 0$, поэтому берём внутренний промежуток, где $< 0$, и добавляем корни, где $= 0$.

Ответ: $[1; 3]$.

б) $(x + 5)(x — 2) > 0$:
Приведём к квадратному виду: $(x + 5)(x — 2) = x^2 — 2x + 5x — 10 = x^2 + 3x — 10$, то есть $x^2 + 3x — 10 > 0$.

Коэффициент $a = 1 > 0$: парабола направлена вверх; значит $x^2 + 3x — 10 > 0$ вне промежутка между корнями и $< 0$ внутри.

Нули из $x^2 + 3x — 10 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$. Корни $x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$, то есть $x_1 = -5$, $x_2 = 2$.

Интервалы разбиения: $(-\infty; -5)$, $(-5; 2)$, $(2; +\infty)$.

Знак на интервалах (проверка точками $x = -6$, $x = 0$, $x = 3$): снаружи корней $> 0$, между корнями $< 0$.

Требуется строго $> 0$, следовательно корни не включаются.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.

в) $(2x + 6)(x + 4) \geqslant 0$:
Вынесем общий множитель: $2x + 6 = 2(x + 3)$, получаем $2(x + 3)(x + 4) \geqslant 0$. Поскольку множитель $2 > 0$ на знак не влияет, эквивалентно $(x + 3)(x + 4) \geqslant 0$.

Нули произведения: $x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$; $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$. Упорядочим: $x_2 = -4 < x_1 = -3$.

Так как эквивалентный квадратный трёхчлен имеет $a = 1 > 0$, он $\geqslant 0$ на внешних промежутках относительно корней и $< 0$ между ними.

Интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; +\infty)$. Проверка точками $x = -5$, $x = -3.5$, $x = 0$ подтверждает: вне $(-4; -3)$ произведение $\geqslant 0$, внутри $< 0$.

Требуется $\geqslant 0$, значит включаем также точки $x = -4$ и $x = -3$, где произведение равно нулю.

Ответ: $(-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)$.

г) $(3x — 3)(x + 1) < 0$:
Раскрывая скобки, можно получить $3x^2 + 3x — 3x — 3 = 3x^2 — 3$, однако для знака удобнее использовать корни линейных множителей: $3x — 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$, $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$. Упорядочим: $-1 < 1$.

Произведение двух линейных множителей с положительным общим коэффициентом эквивалентно параболе с $a = 3 > 0$, а значит отрицательно строго между корнями и положительно вне.

Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$. Проверка точками $x = -2$, $x = 0$, $x = 2$ даёт соответственно знаки $+$, $—$, $+$.

Требуется строго $< 0$, концы исключаются.

Ответ: $(-1; 1)$.

д) $2x(x — 10) > 0$:
Выносим положительный множитель $2$, он на знак не влияет: эквивалентно $x(x — 10) > 0$.

Нули множителей: $x = 0$ и $x — 10 = 0 \Rightarrow x = 10$.

Интервалы разбиения: $(-\infty; 0)$, $(0; 10)$, $(10; +\infty)$.

Знак произведения по правилу одинаковых знаков: при $x < 0$ имеем $x < 0$ и $x — 10 < 0 \Rightarrow$ произведение $> 0$; при $0 < x < 10$ один множитель $> 0$, другой $< 0 \Rightarrow$ произведение $< 0$; при $x > 10$ оба множителя $> 0 \Rightarrow$ произведение $> 0$.

Требуется строго $> 0$, точки $x = 0$ и $x = 10$ исключаются.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (10; +\infty)$.

е) $x(2x + 3) \leqslant 0$:
Можно рассматривать без раскрытия скобок: множители $x$ и $2x + 3$.

Нули множителей: $x = 0$; $2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$. Упорядочим: $-\frac{3}{2} < 0$.

Интервалы: $(-\infty; -\frac{3}{2})$, $(-\frac{3}{2}; 0)$, $(0; +\infty)$.

Знак произведения: при $x < -\frac{3}{2}$ оба множителя $< 0 \Rightarrow$ произведение $> 0$; при $-\frac{3}{2} < x < 0$ имеем $x < 0$, $2x + 3 > 0 \Rightarrow$ произведение $< 0$; при $x > 0$ оба множителя $> 0 \Rightarrow$ произведение $> 0$. В точках $x = -\frac{3}{2}$ и $x = 0$ произведение равно нулю.

Требуется $\leqslant 0$, следовательно берём внутренний промежуток, где $< 0$, и добавляем точки нулей, где $= 0$.

Ответ: $\left[ -\frac{3}{2}; 0 \right]$.