ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 297 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство $297-301$:

а) $3x^2 — 10x + 4 < 1$;

б) $-3x^2 + 7x + 4 < -2$;

в) $-5x^2 + 4x + 11 > 10$;

г) $6x^2 + 7x — 2 > -3$.

а) $3x^2 — 10x + 4 < 1$:

$3x^2 — 10x + 3 < 0$;

$a = 3 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$3x^2 — 10x + 3 = 0$;

$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$, тогда:

$x_1 = \frac{10 — 8}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{10 + 8}{3 \cdot 2} = 3$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $\left(\frac{1}{3}; 3\right)$.

б) $-3x^2 + 7x + 4 < -2$:

$-3x^2 + 7x + 6 < 0$;

$a = -3 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$-3x^2 + 7x + 6 = 0$;

$D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 + 72 = 121$, тогда:

$x_1 = \frac{-7 — 11}{2 \cdot (-3)} = 3$ и $x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot (-3)} = -\frac{2}{3}$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $\left(-\infty; -\frac{2}{3}\right) \cup (3; +\infty)$.

в) $-5x^2 + 4x + 11 > 10$:

$-5x^2 + 4x + 1 > 0$;

$a = -5 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$-5x^2 + 4x + 1 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16 + 20 = 36$, тогда:

$x_1 = \frac{-4 — 6}{2 \cdot (-5)} = 1$ и $x_2 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot (-5)} = -\frac{1}{5}$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $\left(-\frac{1}{5}; 1\right)$.

г) $6x^2 + 7x — 2 > -3$:

$6x^2 + 7x + 1 > 0$;

$a = 6 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$6x^2 + 7x + 1 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 — 24 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{-7 — 5}{2 \cdot 6} = -1$ и $x_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{6}$;

3) Схематический рисунок:

Ответ: $\left(-\infty; -1\right) \cup \left(-\frac{1}{6}; +\infty\right)$.

а) $3x^2 — 10x + 4 < 1$:

Перепишем неравенство в виде:

$$3x^2 — 10x + 3 < 0$$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

$$3x^2 — 10x + 3 = 0$$

Для нахождения корней используем формулу для решения квадратных уравнений:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 3$, $b = -10$, $c = 3$. Подставляем значения:

$$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{(-10{)}^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3}$$

$$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$$ $$x=\frac{10\pm \sqrt{100-36}}{6}$$

$$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 36}}{6}$$ $$x=\frac{10\pm \sqrt{64}}{6}$$

$$x = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6}$$ $$x = \frac{10 \pm 8}{6}$$

Находим два корня:

$$x_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 3 > 0$) пересекает ось $x$ в точках $x = \frac{1}{3}$ и $x = 3$. Для неравенства $3x^2 — 10x + 3 < 0$, функция принимает отрицательные значения между этими корнями. Следовательно, решение неравенства:

$$x \in \left( \frac{1}{3}; 3 \right)$$

Ответ: $\left( \frac{1}{3}; 3 \right)$.

б) $-3x^2 + 7x + 4 < -2$:

Перепишем неравенство в виде:

$$-3x^2 + 7x + 6 < 0$$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

$$-3x^2 + 7x + 6 = 0$$

Для нахождения корней используем формулу для решения квадратных уравнений:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = -3$, $b = 7$, $c = 6$. Подставляем значения:

$$x=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot (-3)\cdot 6}}{2\cdot (-3)}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 — 4 \cdot (-3) \cdot 6}}{2 \cdot (-3)}$$ $$x=\frac{-7\pm \sqrt{49+72}}{-6}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{-6}$$ $$x=\frac{-7\pm \sqrt{121}}{-6}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{-6}$$ $$x = \frac{-7 \pm 11}{-6}$$

Находим два корня:

$$x_1 = \frac{-7 — 11}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3, \quad x_2 = \frac{-7 + 11}{-6} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$$

Парабола с ветвями вниз (так как $a = -3 < 0$) пересекает ось $x$ в точках $x = -\frac{2}{3}$ и $x = 3$. Для неравенства $-3x^2 + 7x + 6 < 0$, функция принимает отрицательные значения между этими корнями. Следовательно, решение неравенства:

$$x \in \left( -\frac{2}{3}; 3 \right)$$

Ответ: $\left( -\frac{2}{3}; 3 \right)$.

в) $-5x^2 + 4x + 11 > 10$:

Перепишем неравенство в виде:

$$-5x^2 + 4x + 1 > 0$$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

$$-5x^2 + 4x + 1 = 0$$

Для нахождения корней используем формулу для решения квадратных уравнений:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = -5$, $b = 4$, $c = 1$. Подставляем значения:

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot (-5)\cdot 1}}{2\cdot (-5)}$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 — 4 \cdot (-5) \cdot 1}}{2 \cdot (-5)}$$ $$x=\frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{-10}$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{-10}$$ $$x=\frac{-4\pm \sqrt{36}}{-10}$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{-10}$$ $$x = \frac{-4 \pm 6}{-10}$$

Находим два корня:

$$x_1 = \frac{-4 — 6}{-10} = \frac{-10}{-10} = 1, \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{-10} = \frac{2}{-10} = -\frac{1}{5}$$

Парабола с ветвями вниз (так как $a = -5 < 0$) пересекает ось $x$ в точках $x = -\frac{1}{5}$ и $x = 1$. Для неравенства $-5x^2 + 4x + 1 > 0$, функция принимает положительные значения между этими корнями. Следовательно, решение неравенства:

$$x \in \left( -\frac{1}{5}; 1 \right)$$

Ответ: $\left( -\frac{1}{5}; 1 \right)$.

г) $6x^2 + 7x — 2 > -3$:

Перепишем неравенство в виде:

$$6x^2 + 7x + 1 > 0$$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

$$6x^2 + 7x + 1 = 0$$

Для нахождения корней используем формулу для решения квадратных уравнений:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 6$, $b = 7$, $c = 1$. Подставляем значения:

$$x=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 6\cdot 1}}{2\cdot 6}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6}$$ $$x=\frac{-7\pm \sqrt{49-24}}{12}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 — 24}}{12}$$ $$x=\frac{-7\pm \sqrt{25}}{12}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{12}$$ $$x = \frac{-7 \pm 5}{12}$$

Находим два корня:

$$x_1 = \frac{-7 — 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1, \quad x_2 = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 6 > 0$) пересекает ось $x$ в точках $x = -1$ и $x = -\frac{1}{6}$. Для неравенства $6x^2 + 7x + 1 > 0$, функция принимает положительные значения за пределами этих точек. Следовательно, решение неравенства:

$$x \in (-\infty; -1) \cup \left( -\frac{1}{6}; +\infty \right)$$

Ответ: $(-\infty; -1) \cup \left( -\frac{1}{6}; +\infty \right)$.