ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 296 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство

а) $x^2 < 25$

б) $x^2 \geq \frac{1}{4}$

в) $-2x^2 > -18$

г) $x^2 + 1 \geq 5$

д) $x^2 \leq x$

е) $2x > x^2$

ж) $x < x^2$

з) $0,5x^2 > -3x$

и) $9 < x^2$

к) $\frac{1}{2}x^2 < 50$

л) $-x^2 \geq -100$

м) $6,4>0,1x^2$$6,4 > 0,1x^2$$2x^2 > 0$

а) $x^2 < 25$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 — 25 = 0;$$ $$x^2 = 25, \text{ отсюда } x = \pm 5;$$

3) Схематичный рисунок:

б) $x^2 \geq \frac{1}{4}$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 — \frac{1}{4} = 0;$$ $$x^2 = \frac{1}{4}, \text{ отсюда } x = \pm \frac{1}{2};$$

3) Схематичный рисунок:

в) $-2x^2 < -18$:

$a = -2 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$-2x^2 + 18 = 0;$$ $$-2x^2 = -18 \quad | : (-2);$$ $$x^2 = 9, \text{ отсюда } x = \pm 3;$$

3) Схематичный рисунок:

г) $x^2 + 1 \geq 5$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 + 1 — 5 \geq 0;$$ $$x^2 — 4 = 0;$$ $$x^2 = 4, \text{ отсюда } x = \pm 2;$$

3) Схематичный рисунок:

д) $x^2 \leq x$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 — x \leq 0;$$ $$x(x — 1) = 0, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 1;$$

3) Схематичный рисунок:

е) $2x > x^2$:

$a = -1 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$2x — x^2 > 0;$$ $$x(2 — x) = 0, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 2;$$

3) Схематичный рисунок:

ж) $x < x^2$:

$a = -1 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$x — x^2 = 0;$$ $$x(1 — x) = 0, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 1;$$

3) Схематичный рисунок:

з) $0,5x^2 > -3x$:

$a = 0,5 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$0,5x^2 + 3x > 0;$$ $$0,5x^2 + 3x = 0 \quad | \cdot 2;$$ $$x^2 + 6x = 0;$$ $$x(x + 6) = 0, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = -6;$$

3) Схематичный рисунок:

и) $9 \leq x^2$:

$a = -1 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$9 — x^2 \leq 0;$$ $$x^2 = 9, \text{ отсюда } x = \pm 3;$$

3) Схематичный рисунок:

к) $\frac{1}{2}x^2 < 50$:

$a = \frac{1}{2} > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$\frac{1}{2}x^2 — 50 < 0;$$ $$\frac{1}{2}x^2 — 50 = 0 \quad | \cdot 2;$$ $$x^2 — 100 = 0;$$ $$x^2 = 100, \text{ отсюда } x = \pm 10;$$

3) Схематичный рисунок:

л) $-x^2 \geq -100$:

$a = -1 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$-x^2 + 100 \geq 0;$$ $$x^2 = 100, \text{ отсюда } x = \pm 10;$$

3) Схематичный рисунок:

м) $6$$6,4 > 0,1x^2$:

$a = -0,1 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$6,4 — 0,1x^2 > 0;$$ $$6,4 — 0,1x^2 = 0 \quad | \cdot 10;$$ $$64 — x^2 = 0;$$ $$x^2 = 64, \text{ отсюда } x = \pm 8;$$

3) Схематичный рисунок:

а) $x^2 < 25$:

У нас есть неравенство $x^2 < 25$, которое является квадратным неравенством. Чтобы решить его, сначала решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 = 25$. Это даст нам два корня:

$$x = \pm 5$$

Теперь, так как парабола с ветвями вверх (так как $a = 1 > 0$), график функции $x^2$ пересекает ось $x$ в точках $x = -5$ и $x = 5$, а на интервале между этими точками функция принимает отрицательные значения, так как парабола находится ниже оси $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 < 25$ выполняется на интервале между этими корнями:

$$x \in (-5; 5)$$

Ответ: $(-5; 5)$.

б) $x^2 \geq \frac{1}{4}$:

Для решения неравенства $x^2 \geq \frac{1}{4}$ решим соответствующее квадратное уравнение:

$$x^2 — \frac{1}{4} = 0$$

Это уравнение можно решить следующим образом:

$$x^2 = \frac{1}{4}$$ $$x = \pm \frac{1}{2}$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 1 > 0$) пересекает ось $x$ в точках $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$. Между этими точками парабола находится ниже оси $x$, то есть функция принимает отрицательные значения. Вне этих точек парабола выше оси $x$, и функция принимает положительные значения.

Следовательно, неравенство $x^2 \geq \frac{1}{4}$ выполняется за пределами интервала $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$:

$$x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) $-2x^2 < -18$:

Мы имеем неравенство $-2x^2 < -18$. Чтобы решить его, поделим обе части на $-2$ (не забывая изменить знак неравенства на противоположный):

$$x^2 > 9$$

Теперь решим соответствующее уравнение:

$$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$

Парабола с ветвями вниз (так как $a = -2 < 0$) имеет корни $x = -3$ и $x = 3$. Неравенство $x^2 > 9$ выполняется за пределами этих корней, поскольку функция будет выше оси $x$ вне интервала $(-3, 3)$.

Ответ:

$$x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

г) $x^2 + 1 \geq 5$:

Перепишем неравенство:

$$x^2 + 1 — 5 \geq 0$$ $$x^2 — 4 \geq 0$$

Решим соответствующее квадратное уравнение:

$$x^2 — 4 = 0$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 1 > 0$) пересекает ось $x$ в точках $x = -2$ и $x = 2$. Неравенство $x^2 — 4 \geq 0$ выполняется за пределами этих точек, то есть на интервалах $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ:

$$x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

д) $x^2 \leq x$:

Перепишем неравенство:

$$x^2 — x \leq 0$$

Раскроем скобки:

$$x(x — 1) \leq 0$$

Решим это неравенство. Нули функции: $x = 0$ и $x = 1$. Это означает, что функция меняет знак в этих точках. Чтобы определить, где неравенство выполняется, рассмотрим знаки на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, и $(1; +\infty)$:

На интервале $(0; 1)$ функция отрицательна, и неравенство выполняется.

Ответ:

$$x \in [0; 1]$$

Ответ: $[0; 1]$.

е) $2x > x^2$:

Перепишем неравенство:

$$2x — x^2 > 0$$

Перепишем его в виде:

$$x(2 — x) > 0$$

Нули функции: $x = 0$ и $x = 2$. Рассмотрим знаки на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, и $(2; +\infty)$. Неравенство выполняется на интервале $(0; 2)$.

Ответ:

$$x \in (0; 2)$$

Ответ: $(0; 2)$.

ж) $x < x^2$:

Перепишем неравенство:

$$x — x^2 < 0$$ $$x(1 — x) < 0$$

Нули функции: $x = 0$ и $x = 1$. Рассмотрим знаки на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, и $(1; +\infty)$. Неравенство выполняется на интервале $(0; 1)$.

Ответ:

$$x \in (0; 1)$$

Ответ: $(0; 1)$.

з) $0,5x^2 > -3x$:

Перепишем неравенство:

$$0,5x^2 + 3x > 0$$ $$x(x + 6) > 0$$

Нули функции: $x = 0$ и $x = -6$. Рассмотрим знаки на интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, и $(0; +\infty)$. Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty; -6)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ:

$$x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$.

и) $9 \leq x^2$:

Перепишем неравенство:

$$x^2 — 9 \geq 0$$ $$(x — 3)(x + 3) \geq 0$$

Нули функции: $x = -3$ и $x = 3$. Рассмотрим знаки на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$, и $(3; +\infty)$. Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ:

$$x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

к) $\frac{1}{2}x^2 < 50$:

Перепишем неравенство:

$$\frac{1}{2}x^2 — 50 < 0$$ $$\frac{1}{2}x^2 = 50$$

Умножим обе части на 2:

$$x^2 = 100$$

Решим:

$$x = \pm 10$$

Парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 < 100$ выполняется на интервале $(-10; 10)$.

Ответ:

$$x \in (-10; 10)$$

Ответ: $(-10; 10)$.

л) $-x^2 \geq -100$:

Перепишем неравенство:

$$-x^2 + 100 \geq 0$$ $$x^2 = 100$$

Решим:

$$x = \pm 10$$

Парабола с ветвями вниз. Неравенство $-x^2 \geq -100$ выполняется на интервале $[-10; 10]$.

Ответ:

$$x \in [-10; 10]$$

Ответ: $[-10; 10]$.

м) $6,4 > 0,1x^2$:

Перепишем неравенство:

$$6,4 — 0,1x^2 > 0$$ $$0,1x^2 < 6,4$$

Умножим обе части на 10:

$$x^2 < 64$$

Решим:

$$x = \pm 8$$

Парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 < 64$ выполняется на интервале $(-8; 8)$.

Ответ:

$$x \in (-8; 8)$$

Ответ: $(-8; 8)$.