ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 295 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство
а) $x^2 + 3 > 0$

б) $-x^2 — 2 \leq 0$

в) $x^2 — 4x + 7 \leq 0$

г) $-x^2 + 4x — 5 \geq 0$

д) $2x^2 + 4x + 2 \geq 0$

е) $x^2 — 6x + 9 < 0$

ж) $-3x^2 \leq 0$

з) $2x^2>0$$2x^2 > 0$

а) $x^2 + 3 > 0$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 + 3 = 0;$$ $$x^2 = -3 \quad \text{— корней нет};$$

3) Схематичный рисунок:

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) $-x^2 — 2 \leq 0$:

$a = -1 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$-x^2 — 2 = 0;$$ $$x^2 = -2 \quad \text{— корней нет};$$

3) Схематичный рисунок:

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

в) $x^2 — 4x + 7 \leq 0$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 — 4x + 7 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 7 = 16 — 28 = -12;$$ $$D < 0, \text{значит корней нет};$$

3) Схематичный рисунок:

Ответ: $\varnothing$.

г) $-x^2 + 4x — 5 \geq 0$:

$a = -1 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$-x^2 + 4x — 5 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 5 = 16 — 20 = -4;$$ $$D < 0, \text{значит корней нет}.$$

3) Схематичный рисунок:

Ответ: $\varnothing$.

д) $2x^2 + 4x + 2 \geq 0$:

$a = 2 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$2x^2 + 4x + 2 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 — 16 = 0, \text{тогда:}$$ $$x = \frac{-4}{2 \cdot 2} = -1;$$

3) Схематичный рисунок:

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

е) $x^2 — 6x + 9 < 0$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 — 6x + 9 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 9 = 36 — 36 = 0, \text{тогда:}$$ $$x = \frac{6}{2} = 3;$$

3) Схематичный рисунок:

Ответ: $\varnothing$.

ж) $-3x^2 \leq 0$:

$a = -3 < 0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$-3x^2 = 0;$$ $$x^2 = 0, \text{отсюда } x = 0;$$

3) Схематичный рисунок:

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

з) $2x^2 > 0$:

$a = 2 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$2x^2 = 0;$$ $$x^2 = 0, \text{отсюда } x = 0;$$

3) Схематичный рисунок:

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.$$\boxed{ \begin{aligned} &\text{е)} \, \varnothing \\ &\text{ж)} \, (-\infty; +\infty) \\ &\text{з)} \, (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \end{aligned} }$$

а) $x^2 + 3 > 0$:

Мы имеем неравенство $x^2 + 3 > 0$. Чтобы решить его, приравняем его к нулю для нахождения возможных корней:

$$x^2 + 3 = 0$$

Решим полученное уравнение:

$$x^2 = -3$$

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то у данного уравнения нет действительных корней. Это означает, что функция не имеет точек пересечения с осью $x$.

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 1 > 0$) всегда выше оси $x$, так как она не пересекает её. Следовательно, для всех значений $x$, выражение $x^2 + 3$ всегда больше нуля.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) $-x^2 — 2 \leq 0$:

Решим неравенство $-x^2 — 2 \leq 0$. Перепишем его:

$$-x^2 — 2 = 0$$

Решим уравнение:

$$-x^2 = 2$$ $$x^2 = -2$$

Так как $x^2 = -2$ не имеет решения в действительных числах, это уравнение не имеет корней.

Парабола с ветвями вниз (так как $a = -1 < 0$) всегда лежит ниже оси $x$. Следовательно, $-x^2 — 2$ всегда меньше или равно нулю для всех значений $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

в) $x^2 — 4x + 7 \leq 0$:

Решим неравенство $x^2 — 4x + 7 \leq 0$. Сначала найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения:

$$x^2 — 4x + 7 = 0$$ $$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 — 28 = -12$$

Так как дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $x$.

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 1 > 0$), и поскольку дискриминант отрицателен, график функции всегда находится выше оси $x$. Следовательно, неравенство $x^2 — 4x + 7 \leq 0$ не выполняется.

Ответ: $\varnothing$.

г) $-x^2 + 4x — 5 \geq 0$:

Решим неравенство $-x^2 + 4x — 5 \geq 0$. Сначала решим соответствующее уравнение:

$$-x^2 + 4x — 5 = 0$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 — 20 = -4$$

Так как дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось $x$.

Парабола с ветвями вниз (так как $a = -1 < 0$), и поскольку дискриминант отрицателен, график функции всегда лежит ниже оси $x$. Следовательно, неравенство $-x^2 + 4x — 5 \geq 0$ не выполняется.

Ответ: $\varnothing$.

д) $2x^2 + 4x + 2 \geq 0$:

Решим неравенство $2x^2 + 4x + 2 \geq 0$. Для этого решим соответствующее уравнение:

$$2x^2 + 4x + 2 = 0$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 — 16 = 0$$

Дискриминант равен нулю, и это означает, что уравнение имеет один корень:

$$x = \frac{-4}{2 \cdot 2} = -1$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 2 > 0$), и она касается оси $x$ в точке $x = -1$. Поскольку парабола направлена вверх, то неравенство $2x^2 + 4x + 2 \geq 0$ выполняется для всех значений $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

е) $x^2 — 6x + 9 < 0$:

Решим неравенство $x^2 — 6x + 9 < 0$. Сначала решим соответствующее уравнение:

$$x^2 — 6x + 9 = 0$$ $$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 — 36 = 0$$

Дискриминант равен нулю, и это означает, что у уравнения есть один корень:

$$x = \frac{6}{2} = 3$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 1 > 0$), и она касается оси $x$ в точке $x = 3$. Поскольку парабола направлена вверх, то неравенство $x^2 — 6x + 9 < 0$ не выполняется.

Ответ: $\varnothing$.

ж) $-3x^2 \leq 0$:

Решим неравенство $-3x^2 \leq 0$. Для этого решим соответствующее уравнение:

$$-3x^2 = 0$$ $$x^2 = 0, \text{ отсюда } x = 0$$

Парабола с ветвями вниз (так как $a = -3 < 0$), и она касается оси $x$ в точке $x = 0$. Неравенство $-3x^2 \leq 0$ выполняется для всех значений $x$, так как функция всегда меньше или равна нулю.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

з) $2x^2 > 0$:

Решим неравенство $2x^2 > 0$. Для этого решим соответствующее уравнение:

$$2x^2 = 0$$ $$x^2 = 0, \text{ отсюда } x = 0$$

Парабола с ветвями вверх (так как $a = 2 > 0$), и она касается оси $x$ в точке $x = 0$. Неравенство $2x^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x = 0$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.