ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 292 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенства:

а) $x^2 + 4x — 21 < 0$;
б) $x^2 — 4x — 21 > 0$;
в) $x^2 + 10x > 0$;
г) $x^2 — 9 < 0$;
д) $x^2 — 1 > 0$;
е) $x^2 — 4x — 12 < 0$.

а) $x^2 + 4x — 21 < 0$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 + 4x — 21 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7 \text{ и } x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-7; 3)$.

б) $x^2 — 4x — 21 > 0$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 — 4x — 21 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{4 — 10}{2} = -3 \text{ и } x_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (7; +\infty)$.

в) $x^2 + 10x > 0$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 + 10x = 0;$$ $$x(x + 10) = 0, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 + 10 = 0, \text{ отсюда } x_2 = -10;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; -10) \cup (0; +\infty)$.

г) $x^2 — 9 < 0$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 — 9 = 0;$$ $$x^2 = 9, \text{ отсюда } x = \pm 3;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-3; 3)$.

д) $x^2 — 1 > 0$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 — 1 = 0;$$ $$x^2 = 1, \text{ отсюда } x = \pm 1;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

е) $x^2 — 4x — 12 < 0$:

$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2 — 4x — 12 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{4 — 8}{2} = -2 \text{ и } x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-2; 6)$.

а) $x^2 + 4x — 21 < 0$:

Мы имеем квадратное неравенство $x^2 + 4x — 21 < 0$. Первым шагом решаем соответствующее квадратное уравнение для нахождения корней:

$$x^2 + 4x — 21 = 0$$

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой нахождения корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Здесь $a = 1$, $b = 4$, $c = -21$. Подставим значения в формулу:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm 10}{2}$$

Найдем два корня:

$$x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-4 — 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Это означает, что функция $y = x^2 + 4x — 21$ пересекает ось $x$ в точках $x = -7$ и $x = 3$. Теперь нужно решить неравенство. Мы знаем, что для параболы с ветвями вверх (так как $a = 1 > 0$) значение функции будет меньше нуля между корнями. Поэтому неравенство выполняется на интервале:

$$x \in (-7; 3)$$

Ответ: $(-7; 3)$.

б) $x^2 — 4x — 21 > 0$:

Квадратное неравенство $x^2 — 4x — 21 > 0$ имеет те же корни, что и уравнение $x^2 — 4x — 21 = 0$.

Для нахождения корней используем ту же формулу для нахождения корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = -4$, $c = -21$:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm 10}{2}$$

Рассчитаем корни:

$$x_1 = \frac{4 — 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и неравенство $x^2 — 4x — 21 > 0$ выполняется за пределами корней, то есть на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(7, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (7; +\infty)$.

в) $x^2 + 10x > 0$:

Квадратное неравенство $x^2 + 10x > 0$ преобразуется в уравнение:

$$x^2 + 10x = 0$$

Решим это уравнение:

$$x(x + 10) = 0$$

Корни:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -10$$

Мы знаем, что $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Неравенство $x^2 + 10x > 0$ выполняется, когда $x$ лежит за пределами корней, то есть на интервалах $(-\infty, -10)$ и $(0, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -10) \cup (0; +\infty)$.

г) $x^2 — 9 < 0$:

Запишем неравенство $x^2 — 9 < 0$ как уравнение:

$$x^2 — 9 = 0$$

Решим уравнение:

$$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$

Парабола имеет ветви вверх, так как $a = 1 > 0$, и неравенство $x^2 — 9 < 0$ выполняется между корнями $-3$ и $3$.

Ответ: $(-3; 3)$.

д) $x^2 — 1 > 0$:

Запишем неравенство $x^2 — 1 > 0$ как уравнение:

$$x^2 — 1 = 0$$

Решим уравнение:

$$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

Парабола направлена вверх, так как $a = 1 > 0$. Неравенство $x^2 — 1 > 0$ выполняется за пределами корней $-1$ и $1$, то есть на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

е) $x^2 — 4x — 12 < 0$:

Запишем неравенство $x^2 — 4x — 12 < 0$ как уравнение:

$$x^2 — 4x — 12 = 0$$

Решим это уравнение:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$$ $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{4 \pm 8}{2}$$

Рассчитаем два корня:

$$x_1 = \frac{4 — 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Парабола направлена вверх, так как $a = 1 > 0$. Неравенство $x^2 — 4x — 12 < 0$ выполняется между корнями $-2$ и $6$.

Ответ: $(-2; 6)$.