ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 291 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите абсциссы точек пересечения параболы с осью $x$, изобразите параболу схематически и отметьте на оси $x$ значения аргумента, при которых:

$y=0$;

$y<0$;

$y>0$.

В каждом случае проверьте себя, подставив в формулу какое-нибудь значение $x$ из найденного множества.

а) $y=x^2-1$;

б) $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2$;

в) $y=x^2+4x-5$;

г) $y=x^2-6x+5$;

д) $y=x^2-5x+6$;

е) $y=-x^2+x+2$.

а) $y=x^2-1$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x^2-1=0;$
$x^2=1,\text{ отсюда }x=\pm 1;$

3) Схематический рисунок:

• Если $-1<x<1$, то $y<0$;
• Если $x<-1$ или $x>1$, то $y>0$;

4) Проверка подстановкой:
$y(0)=0^2-1=-1<0;$
$y(-2)=(-2{)}^2-1=3>0;$
$y(2)=3^2-1=8>0;$

б) $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2$:

$\mathrm{1)\; a}=-\frac{1}{2}<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:
$-\frac{1}{2}{x}^2+2=0\mathrm{\mid }\cdot (-2);$
$x^2-4=0;$
$x^2=4,\text{ отсюда }x=\pm 2;$

3) Схематический рисунок:

• Если $-2<x<2$, то $y>0$;
• Если $x<-2$ или $x>2$, то $y<0$;

4) Проверка подстановкой:
$y(0)=-\frac{1}{2}\cdot 0^2+2=2>0;$
$y(-4)=-\frac{1}{2}\cdot (-4{)}^2+2=-6<0;$
$y(6)=-\frac{1}{2}\cdot 6^2+2=-16<0;$

в) $y=x^2+4x-5$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x^2+4x-5=0;$
$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36,\text{ тогда: }$
$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5\text{ и }{x}_2=\frac{-4+6}{2}=1;$

3) Схематический рисунок:

• Если $-5<x<1$, то $y<0$;
• Если $x<-5$ или $x>1$, то $y>0$;

4) Проверка подстановкой:
$y(0)=0^2+4\cdot 0-5=-5<0;$
$y(-6)=(-6{)}^2+4\cdot (-6)-5=7>0;$
$y(2)=2^2+4\cdot 2-5=7>0;$

г) $y=x^2-6x+5$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x^2-6x+5=0;$
$D=6^2-4\cdot 5=36-25=16,\text{ тогда: }$
$x_1=\frac{6-4}{2}=1\text{ и }{x}_2=\frac{6+4}{2}=5;$

3) Схематический рисунок:

• Если $1<x<5$, то $y<0$;
• Если $x<1$ или $x>5$, то $y>0$;

4) Проверка подстановкой:
$y(2)=2^2-6\cdot 2+5=-3<0;$
$y(0)=0^2-6\cdot 0+5=5>0;$
$y(6)=6^2-6\cdot 6+5=5>0;$

д) $y=x^2-5x+6$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x^2-5x+6=0;$
$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,\text{ тогда: }$
$x_1=\frac{5-1}{2}=2\text{ и }{x}_2=\frac{5+1}{2}=3;$

3) Схематический рисунок:

• Если $2<x<3$, то $y<0$;
• Если $x<2$ или $x>3$, то $y>0$;

4) Проверка подстановкой:
$y(2.5)={2.5}^2-5\cdot 2.5+6=-0.25<0;$
$y(0)=0^2-5\cdot 0+6=6>0;$
$y(4)=4^2-5\cdot 4+6=2>0;$

е) $y=-x^2+x+2$:

$\mathrm{1)\; a}=-1<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:
$-x^2+x+2=0;$
$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{ тогда: }$
$x_1=\frac{-1-3}{-2}=2\text{ и }{x}_2=\frac{-1+3}{-2}=-1;$

3) Схематический рисунок:

• Если $-1<x<2$, то $y>0$;
• Если $x<-1$ или $x>2$, то $y<0$;

4) Проверка подстановкой:
$y(0)=-0^2+0+2=2>0;$
$y(-2)=-(-2{)}^2+(-2)+2=-4<0;$
$y(3)=-3^2+3+2=-4<0;$

y(3) = -3^2 + 3 + 2 = -4 < 0;

а) $y=x^2-1$:

$a=1>0$, значит ветви направлены вверх;
Так как коэффициент при $x^2$ равен 1, это положительное число, то парабола будет открываться вверх. Это значит, что её вершина будет минимальной, а парабола будет расти по обеим сторонам от неё.

Нули функции:
Для того чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $x^2-1=0$:

$$x^2=1,\text{ отсюда }x=\pm 1$$

Таким образом, нули функции находятся в точках $x=-1$ и $x=1$. Это означает, что график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

Схематический рисунок:

Если $-1<x<1$, то $y<0$;
Между $x=-1$ и $x=1$, когда $x$ находится в этом интервале, парабола лежит ниже оси $x$, то есть значения функции отрицательны. Например, для $x=0$, $y(0)=0^2-1=-1$, что подтверждает, что $y<0$.

Если $x<-1$ или $x>1$, то $y>0$;
Для значений $x$, находящихся вне интервала $(-1,1)$, функция лежит выше оси $x$, и соответственно значения $y$ положительны. Например, для $x=-2$, $y(-2)=(-2{)}^2-1=4-1=3>0$, и для $x=2$, $y(2)=2^2-1=4-1=3>0$.

Проверка подстановкой:

$$y(0)=0^2-1=-1<0;$$$$y(-2)=(-2{)}^2-1=3>0;$$$$y(2)=2^2-1=8>0;$$

б) $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2$:

$a=-\frac{1}{2}<0$, значит ветви направлены вниз;
Здесь коэффициент при $x^2$ отрицателен, это означает, что парабола открывается вниз, а её вершина будет максимальной. График функции будет иметь вид «горы», а не «ямы», как в случае с положительным коэффициентом.

Нули функции:
Чтобы найти нули функции, решим уравнение $-\frac{1}{2}{x}^2+2=0$:
Умножим обе стороны на -2, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2-4=0,$$$$x^2=4,\text{ отсюда }x=\pm 2.$$

Нули функции находятся в точках $x=-2$ и $x=2$, то есть график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

Схематический рисунок:

Если $-2<x<2$, то $y>0$;
Между точками пересечения с осью $x$ функция находится выше оси $x$, что даёт положительные значения для $y$. Например, для $x=0$, $y(0)=-\frac{1}{2}\cdot 0^2+2=2>0$.

Если $x<-2$ или $x>2$, то $y<0$;
Вне интервала $(-2,2)$ функция находится ниже оси $x$, что даёт отрицательные значения для $y$. Например, для $x=-4$, $y(-4)=-\frac{1}{2}\cdot (-4{)}^2+2=-6<0$, и для $x=6$, $y(6)=-\frac{1}{2}\cdot 6^2+2=-16<0$.

Проверка подстановкой:

$$y(0)=-\frac{1}{2}\cdot 0^2+2=2>0;$$$$y(-4)=-\frac{1}{2}\cdot (-4{)}^2+2=-6<0;$$$$y(6)=-\frac{1}{2}\cdot 6^2+2=-16<0;$$

в) $y=x^2+4x-5$:

$a=1>0$, значит ветви направлены вверх;
Как и в предыдущих примерах, коэффициент при $x^2$ положительный, следовательно, парабола открывается вверх, а её вершина будет минимальной.

Нули функции:
Чтобы найти нули функции, решим уравнение $x^2+4x-5=0$:
Дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36,$$

Тогда корни:

$$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5\text{ и }{x}_2=\frac{-4+6}{2}=1.$$

Нули функции находятся в точках $x=-5$ и $x=1$, то есть график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

Схематический рисунок:

Если $-5<x<1$, то $y<0$;
Между точками пересечения с осью $x$ функция находится ниже оси $x$, что даёт отрицательные значения для $y$. Например, для $x=0$, $y(0)=0^2+4\cdot 0-5=-5$, что подтверждает, что $y<0$.

Если $x<-5$ или $x>1$, то $y>0$;
Вне этих интервалов функция находится выше оси $x$, что даёт положительные значения для $y$. Например, для $x=-6$, $y(-6)=(-6{)}^2+4\cdot (-6)-5=7>0$, и для $x=2$, $y(2)=2^2+4\cdot 2-5=7>0$.

Проверка подстановкой:

$$y(0)=0^2+4\cdot 0-5=-5<0;$$$$y(-6)=(-6{)}^2+4\cdot (-6)-5=7>0;$$$$y(2)=2^2+4\cdot 2-5=7>0;$$

г) $y=x^2-6x+5$:

$a=1>0$, значит ветви направлены вверх;
Как и в предыдущих примерах, коэффициент при $x^2$ положительный, следовательно, парабола открывается вверх.

Нули функции:
Чтобы найти нули функции, решим уравнение $x^2-6x+5=0$:
Дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16,$$

Тогда корни:

$$x_1=\frac{6-4}{2}=1\text{ и }{x}_2=\frac{6+4}{2}=5.$$

Нули функции находятся в точках $x=1$ и $x=5$, то есть график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

Схематический рисунок:

Если $1<x<5$, то $y<0$;
Между точками пересечения с осью $x$, функция находится ниже оси $x$, что даёт отрицательные значения для $y$.

Если $x<1$ или $x>5$, то $y>0$;
Вне этого интервала функция находится выше оси $x$, что даёт положительные значения для $y$.

Проверка подстановкой:

$$y(2)=2^2-6\cdot 2+5=-3<0;$$$$y(0)=0^2-6\cdot 0+5=5>0;$$$$y(6)=6^2-6\cdot 6+5=5>0;$$

д) $y=x^2-5x+6$:

$a=1>0$, значит ветви направлены вверх;
Здесь парабола также открывается вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный.

Нули функции:
Чтобы найти нули функции, решим уравнение $x^2-5x+6=0$:
Дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,$$

Тогда корни:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2\text{ и }{x}_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

Нули функции находятся в точках $x=2$ и $x=3$, то есть график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

Схематический рисунок:

Если $2<x<3$, то $y<0$;
Между точками пересечения с осью $x$, функция находится ниже оси $x$, что даёт отрицательные значения для $y$.

Если $x<2$ или $x>3$, то $y>0$;
Вне этого интервала функция находится выше оси $x$, что даёт положительные значения для $y$.

Проверка подстановкой:

$$y(2.5)={2.5}^2-5\cdot 2.5+6=-0.25<0;$$$$y(0)=0^2-5\cdot 0+6=6>0;$$$$y(4)=4^2-5\cdot 4+6=2>0;$$

е) $y=-x^2+x+2$:

$a=-1<0$, значит ветви направлены вниз;
Парабола открывается вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен, и её вершина будет максимальной.

Нули функции:
Чтобы найти нули функции, решим уравнение $-x^2+x+2=0$:
Дискриминант:

$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,$$

Тогда корни:

$$x_1=\frac{-1-3}{-2}=2\text{ и }{x}_2=\frac{-1+3}{-2}=-1.$$

Нули функции находятся в точках $x=-1$ и $x=2$, то есть график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

Схематический рисунок:

Если $-1<x<2$, то $y>0$;
Между корнями функция находится выше оси $x$, давая положительные значения для $y$.

Если $x<-1$ или $x>2$, то $y<0$;
Вне этих интервалов функция находится ниже оси $x$, что даёт отрицательные значения для $y$.

Проверка подстановкой:

$$y(0)=-0^2+0+2=2>0;$$$$y(-2)=-(-2{)}^2+(-2)+2=-4<0;$$$$y(3)=-3^2+3+2=-4<0;$$