ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 290 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Вычислите абсциссы точек, в которых график функции $y = x^2 + 6x + 5$ пересекает ось $x$, и изобразите этот график. Впишите пропущенный знак $>$ или $<$:

Если $-5 < x < -1$, то $x^2 + 6x + 5 < 0$;

Если $x < -5$, то $x^2 + 6x + 5 > 0$;

Если $x > -1$, то $x^2 + 6x + 5 > 0$;

б) Вычислите абсциссы точек, в которых график функции $y = -x^2 — x + 6$ пересекает ось $x$. Впишите пропущенный знак $>$ или $<$:

Если $-3 < x < 2$, то $-x^2 — x + 6 > 0$;

Если $x < -3$, то $-x^2 — x + 6 < 0$;

Если $x > 2$, то $-x^2 — x + 6 < 0$;

а) Для уравнения $y = x^2 + 6x + 5$:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

Дискриминант: $\Delta = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$

Корни: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 \pm 4}{2}$

Ответ: $x = -1$ и $x = -5$

б) Для уравнения $y = -x^2 — x + 6$:

$-x^2 — x + 6 = 0$

Дискриминант: $\Delta = (-1)^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 6 = 1 + 24 = 25$

Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{-2} = \frac{1 \pm 5}{-2}$

Ответ: $x = -3$ и $x = 2$

а) Для уравнения $y = x^2 + 6x + 5$:

Запишем уравнение, приравняв $y$ к нулю, так как нас интересует пересечение графика с осью $x$, то есть $y = 0$:

$$x^2 + 6x + 5 = 0$$

Это квадратное уравнение, и чтобы решить его, воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = 6$, $c = 5$.

Найдем дискриминант ($\Delta$):

$$\Delta = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Так как дискриминант положительный, у нас два различных корня. Подставим $\Delta$ в формулу для нахождения корней:

$$x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 4}{2}$$

Рассчитаем два корня:

$$x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-6 — 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Ответ для уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$: $x = -1$ и $x = -5$.

Теперь, рассмотрим, что происходит с функцией в интервалах между корнями и за ними.

Если $-5 < x < -1$, то подставим значение $x = -3$ (оно лежит между корнями) в исходное уравнение $y = x^2 + 6x + 5$:

$$y = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 — 18 + 5 = -4$$

Так как $y < 0$ в этом интервале, знак $<$ должен стоять в выражении:

$$\text{Если } -5 < x < -1, \text{ то } x^2 + 6x + 5 < 0.$$

Если $x < -5$, то подставим значение $x = -6$ в уравнение:

$$y = (-6)^2 + 6(-6) + 5 = 36 — 36 + 5 = 5$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ должен стоять:

$$\text{Если } x < -5, \text{ то } x^2 + 6x + 5 > 0.$$

Если $x > -1$, подставим значение $x = 0$:

$$y = 0^2 + 6(0) + 5 = 5$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ также стоит:

$$\text{Если } x > -1, \text{ то } x^2 + 6x + 5 > 0.$$

б) Для уравнения $y = -x^2 — x + 6$:

Запишем уравнение, приравняв $y$ к нулю:

$$-x^2 — x + 6 = 0$$

Перепишем его в стандартной форме для решения через дискриминант:

$$x^2 + x — 6 = 0$$

Найдем дискриминант ($\Delta$):

$$\Delta = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Так как дискриминант положительный, у нас два различных корня. Подставим $\Delta$ в формулу для нахождения корней:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$

Рассчитаем два корня:

$$x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Ответ для уравнения $-x^2 — x + 6 = 0$: $x = -3$ и $x = 2$.

Теперь, рассмотрим, что происходит с функцией в интервалах между корнями и за ними.

Если $-3 < x < 2$, то подставим значение $x = 0$ (оно лежит между корнями) в исходное уравнение $y = -x^2 — x + 6$:

$$y = -(0)^2 — (0) + 6 = 6$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ должен стоять:

$$\text{Если } -3 < x < 2, \text{ то } -x^2 — x + 6 > 0.$$

Если $x < -3$, то подставим значение $x = -4$ в уравнение:

$$y = -(-4)^2 — (-4) + 6 = -16 + 4 + 6 = -6$$

Так как $y < 0$ в этом интервале, знак $<$ должен стоять:

$$\text{Если } x < -3, \text{ то } -x^2 — x + 6 < 0.$$

Если $x > 2$, подставим значение $x = 3$:

$$y = -(3)^2 — (3) + 6 = -9 — 3 + 6 = -6$$

Так как $y < 0$ в этом интервале, знак $<$ также стоит:

$$\text{Если } x > 2, \text{ то } -x^2 — x + 6 < 0.$$