ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 289 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 2.45 изображен график квадратичной функции. В каждом случае укажите пропущенный знак $>$ или $<$:

а) Если $-1 < x < 3$, то $x^2 — 2x — 3 < 0$;
Если $x < -1$, то $x^2 — 2x — 3 > 0$;
Если $x > 3$, то $x^2 — 2x — 3 > 0$;

б) Если $-2 < x < 4$, то $x^2 — 2x — 8 < 0$;
Если $x < -2$, то $x^2 — 2x — 8 > 0$;
Если $x > 4$, то $x^2 — 2x — 8 > 0$.

а) $y = x^2 — 2x — 3$:

Запишем уравнение, приравняв $y$ к нулю:

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$

Найдем корни уравнения. Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.

Найдем дискриминант ($\Delta$):

$$\Delta = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Так как дискриминант положительный, у нас два корня:

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

Корни:

$$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 — 4}{2} = -1$$

Ответ: $x = -1$ и $x = 3$.

Теперь, рассмотрим, что происходит с функцией в интервалах между корнями и за ними.

Если $-1 < x < 3$, подставим $x = 0$ (оно лежит между корнями) в уравнение $y = x^2 — 2x — 3$:

$$y = 0^2 — 2(0) — 3 = -3$$

Так как $y < 0$ в этом интервале, знак $<$ должен стоять:

$$\text{Если } -1 < x < 3, \text{ то } x^2 — 2x — 3 < 0.$$

Если $x < -1$, подставим $x = -2$ в уравнение:

$$y = (-2)^2 — 2(-2) — 3 = 4 + 4 — 3 = 5$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ должен стоять:

$$\text{Если } x < -1, \text{ то } x^2 — 2x — 3 > 0.$$

Если $x > 3$, подставим $x = 4$:

$$y = 4^2 — 2(4) — 3 = 16 — 8 — 3 = 5$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ также стоит:

$$\text{Если } x > 3, \text{ то } x^2 — 2x — 3 > 0.$$

б) $y = x^2 — 2x — 8$:

Запишем уравнение, приравняв $y$ к нулю:

$$x^2 — 2x — 8 = 0$$

Используем формулу для нахождения корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = -2$, $c = -8$.

Найдем дискриминант ($\Delta$):

$$\Delta = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Так как дискриминант положительный, у нас два корня:

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$$

Корни:

$$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 — 6}{2} = -2$$

Ответ: $x = -2$ и $x = 4$.

Теперь, рассмотрим, что происходит с функцией в интервалах между корнями и за ними.

Если $-2 < x < 4$, подставим $x = 0$ (оно лежит между корнями) в уравнение $y = x^2 — 2x — 8$:

$$y = 0^2 — 2(0) — 8 = -8$$

Так как $y < 0$ в этом интервале, знак $<$ должен стоять:

$$\text{Если } -2 < x < 4, \text{ то } x^2 — 2x — 8 < 0.$$

Если $x < -2$, подставим $x = -3$ в уравнение:

$$y = (-3)^2 — 2(-3) — 8 = 9 + 6 — 8 = 7$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ должен стоять:

$$\text{Если } x < -2, \text{ то } x^2 — 2x — 8 > 0.$$

Если $x > 4$, подставим $x = 5$:

$$y = 5^2 — 2(5) — 8 = 25 — 10 — 8 = 7$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ также стоит:

$$\text{Если } x > 4, \text{ то } x^2 — 2x — 8 > 0.$$

а) $y = x^2 — 2x — 3$:

Уравнение для нахождения точек пересечения графика с осью $x$, то есть при $y = 0$:

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$

Это квадратное уравнение, и для нахождения корней воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Здесь $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.

Теперь найдем дискриминант ($\Delta$):

$$\Delta = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня.

Подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

Рассчитаем два корня:

$$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 — 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Ответ: $x = -1$ и $x = 3$.

Теперь рассмотрим, что происходит с функцией на интервалах, образующихся этими корнями. У нас есть три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ и $(3, \infty)$.

Если $-1 < x < 3$, подставим $x = 0$ (оно лежит между корнями):

$$y = 0^2 — 2(0) — 3 = -3$$

Так как $y < 0$ в этом интервале, знак $<$ должен стоять:

$$\text{Если } -1 < x < 3, \text{ то } x^2 — 2x — 3 < 0.$$

Если $x < -1$, подставим $x = -2$ в уравнение:

$$y = (-2)^2 — 2(-2) — 3 = 4 + 4 — 3 = 5$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ должен стоять:

$$\text{Если } x < -1, \text{ то } x^2 — 2x — 3 > 0.$$

Если $x > 3$, подставим $x = 4$:

$$y = 4^2 — 2(4) — 3 = 16 — 8 — 3 = 5$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ также стоит:

$$\text{Если } x > 3, \text{ то } x^2 — 2x — 3 > 0.$$

б) $y = x^2 — 2x — 8$:

Запишем уравнение, приравняв $y$ к нулю:

$$x^2 — 2x — 8 = 0$$

Для нахождения корней воспользуемся формулой:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = -2$, $c = -8$.

Найдем дискриминант ($\Delta$):

$$\Delta = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$$

Рассчитаем два корня:

$$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 — 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Ответ: $x = -2$ и $x = 4$.

Теперь рассмотрим функцию на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 4)$ и $(4, \infty)$.

Если $-2 < x < 4$, подставим $x = 0$ (оно лежит между корнями):

$$y = 0^2 — 2(0) — 8 = -8$$

Так как $y < 0$ в этом интервале, знак $<$ должен стоять:

$$\text{Если } -2 < x < 4, \text{ то } x^2 — 2x — 8 < 0.$$

Если $x < -2$, подставим $x = -3$ в уравнение:

$$y = (-3)^2 — 2(-3) — 8 = 9 + 6 — 8 = 7$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ должен стоять:

$$\text{Если } x < -2, \text{ то } x^2 — 2x — 8 > 0.$$

Если $x > 4$, подставим $x = 5$:

$$y = 5^2 — 2(5) — 8 = 25 — 10 — 8 = 7$$

Так как $y > 0$ в этом интервале, знак $>$ также стоит:

$$\text{Если } x > 4, \text{ то } x^2 — 2x — 8 > 0.$$