ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 282 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите значения $p$ и $q$, при которых вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке:

а) $A(-3; 4)$;
б) $B(1; 5)$.

Функция: $y = x^2 + px + q$;

а) Вершина в точке $A(-3; 4)$:
Координата $x$ вершины параболы:
$x = -\frac{p}{2} = -3;$
$\frac{p}{2} = 3 \quad | \cdot 2;$
$p = 6;$

Координата $y$ вершины параболы:
$y = x^2 + 6x + q = 4;$
$(-3)^2 + 6 \cdot (-3) + q = 4;$
$9 — 18 + q = 4;$
$q = 4 — 9 + 18;$
$q = 13;$

Ответ: $y = x^2 + 6x + 13$.

б) Вершина в точке $B(1; 5)$:
Координата $x$ вершины параболы:
$x = -\frac{p}{2} = 1;$
$\frac{p}{2} = -1 \quad | \cdot 2;$
$p = -2;$

Координата $y$ вершины параболы:
$y = x^2 — 2x + q = 5;$
$1^2 — 2 \cdot 1 + q = 5;$
$1 — 2 + q = 5;$
$q = 5 — 1 + 2;$
$q = 6;$

Ответ: $y = x^2 — 2x + 6$.

а) Вершина в точке $A(-3; 4)$:
Для нахождения коэффициентов $p$ и $q$ в уравнении $y = x^2 + px + q$, нам нужно использовать информацию о вершине параболы. Ось симметрии параболы проходит через точку её вершины, а абсцисса вершины параболы определяется по формуле:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{p}{2a}$$

В нашем случае $a = 1$, так как у нас есть уравнение $y = x^2 + px + q$, и $a = 1$ — коэффициент при $x^2$. Подставим значение оси симметрии $x_{\text{верш}} = -3$ в формулу:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{p}{2 \cdot 1} = -3$$

Теперь решаем это уравнение для $p$:

$$-\frac{p}{2} = -3$$

Умножим обе стороны на 2:

$$p = 6$$

Теперь, чтобы найти значение $q$, подставим координаты точки вершины $A(-3; 4)$ в уравнение параболы $y = x^2 + px + q$. Мы знаем, что при $x = -3$, $y = 4$. Подставляем эти значения:

$$4 = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + q$$

Вычислим каждый член:

$$4 = 9 — 18 + q$$

Упростим:

$$4 = -9 + q$$

Теперь решим для $q$:

$$q = 4 + 9$$ $$q = 13$$

Таким образом, у нас получились значения коэффициентов $p = 6$ и $q = 13$. Уравнение функции будет:

$$y = x^2 + 6x + 13$$

б) Вершина в точке $B(1; 5)$:
Аналогично предыдущему примеру, если вершина параболы находится в точке $B(1; 5)$, то ось симметрии параболы будет проходить через точку $x_{\text{верш}} = 1$. Используем формулу для нахождения абсциссы вершины параболы:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{p}{2a}$$

Для функции $y = x^2 + px + q$, где $a = 1$, получаем:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{p}{2 \cdot 1} = 1$$

Теперь решим для $p$:

$$-\frac{p}{2} = 1$$

Умножаем обе стороны на 2:

$$p = -2$$

Теперь подставим координаты точки вершины $B(1; 5)$ в уравнение параболы $y = x^2 + px + q$. Мы знаем, что при $x = 1$, $y = 5$. Подставляем эти значения:

$$5 = (1)^2 + (-2) \cdot (1) + q$$

Вычислим каждый член:

$$5 = 1 — 2 + q$$

Упростим:

$$5 = -1 + q$$

Теперь решим для $q$:

$$q = 5 + 1$$ $$q = 6$$

Таким образом, у нас получились значения коэффициентов $p = -2$ и $q = 6$. Уравнение функции будет:

$$y = x^2 — 2x + 6$$