ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 278 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 2.37 изображено кольцо, радиус внешнего круга которого равен 2 см.
1) Запишите формулу, выражающую зависимость площади А кольца от радиуса внутреннего круга х.
2) Начертите график зависимости А от х.
3) Какова область определения рассматриваемой функции?
4) Опишите, как меняется площадь А кольца с изменением х от О до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

$x$ — радиус внутреннего круга;
$R = 2 \, \text{см}$ — радиус внешнего круга;
Примем число $\pi$ равным 3;

1) Уравнение зависимости площади $A$ кольца от радиуса $x$:

$$S_1 = \pi R^2 \, (\text{см}^2) \quad \text{— площадь внешнего круга};$$ $$S_2 = \pi x^2 \, (\text{см}^2) \quad \text{— площадь внутреннего круга};$$ $$A = S_1 — S_2 = \pi R^2 — \pi x^2;$$ $$A = 3 \cdot 2^2 — 3 \cdot x^2;$$ $$A = 12 — 3x^2;$$

2) График зависимости $A$ от $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0,4 & 0,8 & 1 & 1,4 & 1,8 & 2 \\ \hline A & 12 & 11,5 & 10 & 9 & 6,1 & 2,3 & 0 \\ \hline \end{array}$$

3) Область определения данной функции:
Радиус внутренней окружности не может быть меньше нуля, а также не может превышать радиус $R$ внешнего круга, значит $D(x) = [0; 2]$;

4) Изменение площади $A$ кольца с изменением $x$:
От 0 до 2: уменьшается от $12 \, \text{см}^2$ до 0;
От 0 до 1: уменьшается от $12 \, \text{см}^2$ до $9 \, \text{см}^2$;
От 1 до 2: уменьшается от $9 \, \text{см}^2$ до 0.

1) Уравнение зависимости площади $A$ кольца от радиуса $x$:

Площадь кольца — это разность между площадью внешнего круга и площадью внутреннего круга. Площадь круга определяется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга. Таким образом, площадь кольца можно выразить как разность двух таких площадей:

$$S_1 = \pi R^2 \quad \text{— площадь внешнего круга}$$

где $R = 2 \, \text{см}$ — радиус внешнего круга.

$$S_2 = \pi x^2 \quad \text{— площадь внутреннего круга}$$

где $x$ — радиус внутреннего круга.

Теперь, площадь кольца $A$ можно выразить как разницу между площадью внешнего круга и площадью внутреннего круга:

$$A = S_1 — S_2 = \pi R^2 — \pi x^2$$

Подставим значения для $R = 2$ и $\pi = 3$:

$$A = 3 \cdot 2^2 — 3 \cdot x^2 = 3 \cdot 4 — 3 \cdot x^2 = 12 — 3x^2$$

Таким образом, уравнение зависимости площади кольца от радиуса $x$ имеет вид:

$$A = 12 — 3x^2$$

2) График зависимости площади $A$ от радиуса $x$:

Теперь вычислим значения площади кольца для разных значений радиуса $x$. Подставляем $x = 0$, $x = 0,4$, $x = 0,8$, $x = 1$, $x = 1,4$, $x = 1,8$, $x = 2$ в уравнение $A = 12 — 3x^2$:

• Для $x = 0$:

$$A(0) = 12 — 3 \cdot (0)^2 = 12$$

• Для $x = 0,4$:

$$A(0,4) = 12 — 3 \cdot (0,4)^2 = 12 — 3 \cdot 0,16 = 12 — 0,48 = 11,52$$

• Для $x = 0,8$:

$$A(0,8) = 12 — 3 \cdot (0,8)^2 = 12 — 3 \cdot 0,64 = 12 — 1,92 = 10,08$$

• Для $x = 1$:

$$A(1) = 12 — 3 \cdot (1)^2 = 12 — 3 = 9$$

• Для $x = 1,4$:

$$A(1,4) = 12 — 3 \cdot (1,4)^2 = 12 — 3 \cdot 1,96 = 12 — 5,88 = 6,12$$

• Для $x = 1,8$:

$$A(1,8) = 12 — 3 \cdot (1,8)^2 = 12 — 3 \cdot 3,24 = 12 — 9,72 = 2,28$$

• Для $x = 2$:

$$A(2) = 12 — 3 \cdot (2)^2 = 12 — 3 \cdot 4 = 12 — 12 = 0$$

Теперь соберем полученные значения в таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0,4 & 0,8 & 1 & 1,4 & 1,8 & 2 \\ \hline A & 12 & 11,52 & 10,08 & 9 & 6,12 & 2,28 & 0 \\ \hline \end{array}$$

3) Область определения данной функции:

Радиус внутренней окружности $x$ не может быть меньше нуля, так как радиус не может быть отрицательным. Также радиус внутреннего круга не может превышать радиус внешнего круга $R = 2$. Таким образом, область определения функции будет ограничена интервалом от 0 до 2:

$$D(x) = [0; 2]$$

4) Изменение площади $A$ кольца с изменением $x$:

На основе полученных значений площади кольца, можем описать изменение площади с увеличением радиуса внутреннего круга:

• От 0 до 2: площадь уменьшается от $12 \, \text{см}^2$ до 0.
• От 0 до 1: площадь уменьшается от $12 \, \text{см}^2$ до $9 \, \text{см}^2$.
• От 1 до 2: площадь уменьшается от $9 \, \text{см}^2$ до 0.