ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 276 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Мяч падает с высоты 20 м с начальной скоростью, равной нулю.
1) Запишите уравнение, которое задаёт соотношение между высотой h (в м) мяча над землёй и временем падения t (в с).
2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).
3) Определите по графику:
а) сколько примерно времени будет падать мяч;
б) когда он падает быстрее — в первую секунду или во вторую;
в) на каком расстоянии от земли окажется мяч через 1,5 с.

$h_0 = 20 \, \text{м}$ — начальная высота;
$v_0 = 0 \, \text{м/с}$ — начальная скорость мяча;
$g = 9,8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения;

1) Уравнение зависимости высоты $h$ мяча от времени $t$ падения:

$$h = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0;$$ $$h = -\frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 20;$$ $$h = -4,9t^2 + 20;$$

2) График зависимости высоты от времени падения:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t & 0,4 & 0,8 & 1 & 1,4 & 1,8 & 2 \\ \hline h & 19,2 & 16,8 & 15,1 & 10,4 & 4,1 & 0,4 \\ \hline \end{array}$$

3) Определим по графику:
а) Мяч будет падать приблизительно 2 секунды;
б) Мяч падает быстрее в течение второй секунды;
в) Через 1,5 секунды мяч будет на высоте около 9 метров.

1) Уравнение зависимости высоты $h$ мяча от времени $t$ падения:

Начнем с уравнения движения мяча с высоты $h_0$, где начальная скорость $v_0 = 0$. Для мячика, который падает под действием силы тяжести, уравнение будет таким:

$$h = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$$

Здесь:

• $g = 9,8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения;
• $v_0 = 0 \, \text{м/с}$ — начальная скорость мяча (он падает с покоя);
• $h_0 = 20 \, \text{м}$ — начальная высота мяча.

Подставляем эти значения в уравнение:

$$h = -\frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 20$$

Так как $v_0 = 0$, второй член исчезает, и у нас остается:

$$h = -4,9t^2 + 20$$

Теперь это уравнение описывает изменение высоты мяча от времени его падения. Мы видим, что высота зависит от времени квадратично и с отрицательным коэффициентом, что означает, что мяч будет падать вниз.

2) График зависимости высоты от времени падения:

Для того чтобы понять, как изменяется высота мяча с течением времени, вычислим значения функции для различных значений времени $t$. Подставляем различные значения $t$ в уравнение $h = -4,9t^2 + 20$ и получаем:

• Для $t = 0,4$:

$$h(0,4) = -4,9 \cdot (0,4)^2 + 20 = -4,9 \cdot 0,16 + 20 = -0,784 + 20 = 19,216$$

• Для $t = 0,8$:

$$h(0,8) = -4,9 \cdot (0,8)^2 + 20 = -4,9 \cdot 0,64 + 20 = -3,136 + 20 = 16,864$$

• Для $t = 1$:

$$h(1) = -4,9 \cdot (1)^2 + 20 = -4,9 \cdot 1 + 20 = -4,9 + 20 = 15,1$$

• Для $t = 1,4$:

$$h(1,4) = -4,9 \cdot (1,4)^2 + 20 = -4,9 \cdot 1,96 + 20 = -9,604 + 20 = 10,396$$

• Для $t = 1,8$:

$$h(1,8) = -4,9 \cdot (1,8)^2 + 20 = -4,9 \cdot 3,24 + 20 = -15,876 + 20 = 4,124$$

• Для $t = 2$:

$$h(2) = -4,9 \cdot (2)^2 + 20 = -4,9 \cdot 4 + 20 = -19,6 + 20 = 0,4$$

Теперь соберем все эти данные в таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t & 0,4 & 0,8 & 1 & 1,4 & 1,8 & 2 \\ \hline h & 19,2 & 16,8 & 15,1 & 10,4 & 4,1 & 0,4 \\ \hline \end{array}$$

Из таблицы видно, как высота мяча уменьшается с течением времени.

3) Определим по графику:

а) Мяч будет падать приблизительно 2 секунды. Это видно по тому, что в момент времени $t = 2$ мяч уже достигнет земли (высота стала равной $0,4$ метра).

б) Мяч падает быстрее в течение второй секунды. Это связано с тем, что его скорость увеличивается с каждым моментом времени из-за воздействия силы тяжести, и его падение ускоряется.

в) Через 1,5 секунды мяч будет на высоте около 9 метров. Чтобы это подтвердить, подставим $t = 1,5$ в уравнение:

$$h(1,5) = -4,9 \cdot (1,5)^2 + 20 = -4,9 \cdot 2,25 + 20 = -11,025 + 20 = 8,975$$

Это значение близко к 9 метрам, что подтверждает вывод.