ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 275 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вот функции с обозначениями буквами:

а) $y = (x — 1)(x — 5)$
б) $y = (x + 2)(4 — x)$
в) $y = (x + 1)(2x — 6)$
г) $y = -0{,}5x(4 + x)$

а) $y = (x — 1)(x — 5)$:

$$y = x^2 — 5x — x + 5;$$ $$y = x^2 — 6x + 5;$$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-6}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3;$$

$$x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;$$ $$y = \frac{4 \cdot 1 \cdot 5 — (-6)^2}{4 \cdot 1} = \frac{20 — 36}{4} = \frac{-16}{4} = -4;$$

Координаты некоторых точек:

б) $y = (x + 1)(2x — 6)$:

$$y = 2x^2 — 6x + 2x — 6;$$ $$y = 2x^2 — 4x — 6;$$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-4}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1;$$

$$x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$ $$y = \frac{4 \cdot 2 \cdot (-6) — (-4)^2}{4 \cdot 2} = \frac{-48 — 16}{8} = \frac{-64}{8} = -8;$$

Координаты некоторых точек:

в) $y = (x — 2)(4 — x)$:

$$y=4x-x^2-8+2x;$$

$$y = 4x — x^2 — 8 + 2x;$$ $$y = -x^2 + 6x — 8;$$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=\frac{6}{2}=3;$$

$$x = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3;$$ $$y = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-8) — 6^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{32 — 36}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1;$$

Координаты некоторых точек:

г) $y = -0,5x(4 + x)$:

$$y = -0,5x^2 — 2x;$$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-2}{2\cdot (-0,5)}=\frac{-2}{-1}=-2;$$

$$x = -\frac{-2}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{-2}{-1} = -2;$$ $$y = \frac{4 \cdot (-0,5) \cdot 0 — (-2)^2}{4 \cdot (-0,5)} = \frac{-4}{-2} = 2;$$

Координаты некоторых точек:

а) $y = (x — 1)(x — 5)$:

Раскроем скобки и получим стандартную форму квадратичной функции:

$$y = (x — 1)(x — 5) = x^2 — 5x — x + 5 = x^2 — 6x + 5$$

Это уравнение имеет вид $y = x^2 — 6x + 5$, что является параболой.

Теперь найдем координаты вершины параболы. Для этого воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$

Здесь $a = 1$, $b = -6$, поэтому:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Теперь находим ординату вершины. Подставим значение $x = 3$ в уравнение:

$$y(3) = (3)^2 — 6 \cdot (3) + 5 = 9 — 18 + 5 = -4$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -4)$.

Теперь вычислим значения функции в нескольких точках на интервале $[0; 2]$. Подставляем $x = 0$, $x = 1$, и $x = 2$ в уравнение:

Для $x = 0$:

$$y(0) = (0)^2 — 6 \cdot (0) + 5 = 5$$

Для $x = 1$:

$$y(1) = (1)^2 — 6 \cdot (1) + 5 = 1 — 6 + 5 = 0$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = (2)^2 — 6 \cdot (2) + 5 = 4 — 12 + 5 = -3$$

Теперь соберем координаты точек в таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 5 & 0 & -3 \\ \hline \end{array}$$

Наибольшее значение функции на интервале $[0; 2]$ равно $y_{\text{max}} = 5$, а наименьшее значение $y_{\text{min}} = -4$.

Область значений функции: $E(f) = [-4; 5]$.

б) $y = (x + 1)(2x — 6)$:

Раскроем скобки и получим стандартную форму:

$$y = (x + 1)(2x — 6) = x(2x — 6) + 1(2x — 6) = 2x^2 — 6x + 2x — 6 = 2x^2 — 4x — 6$$

Теперь находим координаты вершины параболы. Используем формулу для нахождения абсциссы вершины:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$

Здесь $a = 2$, $b = -4$, следовательно:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Теперь вычислим ординату вершины. Подставляем $x = 1$ в уравнение:

$$y(1) = 2 \cdot (1)^2 — 4 \cdot (1) — 6 = 2 — 4 — 6 = -8$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -8)$.

Теперь вычислим значения функции в нескольких точках на интервале $[-1; 2]$:

Для $x = -1$:

$$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 — 4 \cdot (-1) — 6 = 2 + 4 — 6 = 0$$

Для $x = 0$:

$$y(0) = 2 \cdot (0)^2 — 4 \cdot (0) — 6 = -6$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = 2 \cdot (2)^2 — 4 \cdot (2) — 6 = 8 — 8 — 6 = -6$$

Соберем координаты точек в таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & -6 & -6 \\ \hline \end{array}$$

Наибольшее значение функции на интервале $[-1; 2]$ равно $y_{\text{max}} = 0$, а наименьшее значение $y_{\text{min}} = -8$.

Область значений функции: $E(f) = [-8; 0]$.

в) $y = (x — 2)(4 — x)$:

Раскроем скобки:

$$y = (x — 2)(4 — x) = x(4 — x) — 2(4 — x) = 4x — x^2 — 8 + 2x = -x^2 + 6x — 8$$

Теперь находим координаты вершины параболы. Используем формулу для нахождения абсциссы вершины:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$

Здесь $a = -1$, $b = 6$, следовательно:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3$$

Теперь вычислим ординату вершины. Подставляем $x = 3$ в уравнение:

$$y(3) = -(3)^2 + 6 \cdot (3) — 8 = -9 + 18 — 8 = 1$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, 1)$.

Теперь вычислим значения функции в нескольких точках на интервале $[0; 6]$:

Для $x = 0$:

$$y(0) = -(0)^2 + 6 \cdot (0) — 8 = -8$$

Для $x = 1$:

$$y(1) = -(1)^2 + 6 \cdot (1) — 8 = -1 + 6 — 8 = -3$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = -(2)^2 + 6 \cdot (2) — 8 = -4 + 12 — 8 = 0$$

Соберем координаты точек в таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & -8 & -3 & 0 & 0 & -3 & -8 \\ \hline \end{array}$$

Наибольшее значение функции на интервале $[0; 6]$ равно $y_{\text{max}} = 1$, а наименьшее значение $y_{\text{min}} = -8$.

Область значений функции: $E(f) = [-8; 1]$.

г) $y = -0,5x(4 + x)$:

Раскроем скобки:

$$y = -0,5x(4 + x) = -0,5x^2 — 2x$$

Теперь находим координаты вершины параболы. Используем формулу для нахождения абсциссы вершины:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$

Здесь $a = -0,5$, $b = -2$, следовательно:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{-2}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{-2}{-1} = -2$$

Теперь вычислим ординату вершины. Подставляем $x = -2$ в уравнение:

$$y(-2) = -0,5 \cdot (-2)^2 — 2 \cdot (-2) = -0,5 \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$.

Теперь вычислим значения функции в нескольких точках на интервале $[-6; 2]$:

Для $x = -6$:

$$y(-6) = -0,5 \cdot (-6)^2 — 2 \cdot (-6) = -0,5 \cdot 36 + 12 = -18 + 12 = -6$$

Для $x = -4$:

$$y(-4) = -0,5 \cdot (-4)^2 — 2 \cdot (-4) = -0,5 \cdot 16 + 8 = -8 + 8 = 0$$

Для $x = 0$:

$$y(0) = -0,5 \cdot (0)^2 — 2 \cdot (0) = 0$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = -0,5 \cdot (2)^2 — 2 \cdot (2) = -0,5 \cdot 4 — 4 = -2 — 4 = -6$$

Соберем координаты точек в таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & 0 & 2 \\ \hline y & -6 & 0 & 0 & -6 \\ \hline \end{array}$$

Наибольшее значение функции на интервале $[-6; 2]$ равно $y_{\text{max}} = 2$, а наименьшее значение $y_{\text{min}} = -6$.

Область значений функции: $E(f) = [-6; 2]$.