ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 274 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции на заданном промежутке; укажите наименьшее и наибольшее значения функции; укажите область значений функции:

а) $y = 2x^2 — 6x + 4$; $[0; 2]$;

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$; $[-1; 2]$;

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 — 2x — 5$; $[-4; 1]$.

г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$; $[-4; 2]$.

а) $y = 2x^2 — 6x + 4$, $[0; 2]$:

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-6}{2\cdot 2}=\frac{6}{4}=1,5;$$

$$x = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5;$$ $$y = \frac{4 \cdot 2 \cdot 4 — (-6)^2}{4 \cdot 2} = \frac{32 — 36}{8} = \frac{-4}{8} = -0,5;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 4$;
Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -0,5$;
Область значений: $E(f) = [-0,5; 4]$;

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$, $[-1; 2]$:

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{4}{2\cdot (-2)}=\frac{4}{4}=1;$$

$$x = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{4} = 1;$$ $$y = \frac{4 \cdot (-2) \cdot 6 — 4^2}{4 \cdot (-2)} = \frac{-48 — 16}{-8} = \frac{-64}{-8} = 8;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 8$;
Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = 0$;
Область значений: $E(f) = [0; 8]$;

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 — 2x — 5$, $[-4; 1]$:

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-2}{2\cdot (-0,5)}=-\frac{2}{1}=-2;$$

$$x = -\frac{-2}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{2}{1} = -2;$$ $$y = \frac{4 \cdot (-0,5) \cdot (-5) — (-2)^2}{4 \cdot (-0,5)} = \frac{10 — 4}{-2} = \frac{6}{-2} = -3;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -4 & 0 & 1 \\ \hline y & -5 & -5 & -7,5 \\ \hline \end{array}$$

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = -3$;
Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -7,5$;
Область значений: $E(f) = [-7,5; -3]$;

г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$, $[-4; 2]$:

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{1}{2\cdot 0,25}=-\frac{1}{0,5}=-2;$$

$$x = -\frac{1}{2 \cdot 0,25} = -\frac{1}{0,5} = -2;$$ $$y = \frac{4 \cdot 0,25 \cdot 1 — 1^2}{4 \cdot 0,25} = \frac{1 — 1}{1} = \frac{0}{1} = 0;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -4 & 0 & 2 \\ \hline y & 1 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 4$;
Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = 0$;
Область значений: $E(f) = [0; 4]$;

а) $y = 2x^2 — 6x + 4$, $[0; 2]$:

Для того чтобы построить график функции $y = 2x^2 — 6x + 4$, сначала найдем координаты вершины параболы. Формула для нахождения координаты вершины для параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ выглядит следующим образом:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = 2$ и $b = -6$:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5$$

Теперь находим значение функции в точке вершины. Подставляем $x = 1,5$ в исходное уравнение:

$$y(1,5) = 2 \cdot (1,5)^2 — 6 \cdot 1,5 + 4 = 2 \cdot 2,25 — 9 + 4 = 4,5 — 9 + 4 = -0,5$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1,5, -0,5)$.

Теперь построим таблицу значений функции для нескольких точек на интервале $[0; 2]$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Подставляем значения $x = 0$, $x = 1$, и $x = 2$ в исходную функцию:

Для $x = 0$:

$$y(0) = 2 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 + 4 = 4$$

Для $x = 1$:

$$y(1) = 2 \cdot 1^2 — 6 \cdot 1 + 4 = 2 — 6 + 4 = 0$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = 2 \cdot 2^2 — 6 \cdot 2 + 4 = 8 — 12 + 4 = 0$$

Наибольшее значение функции на интервале $[0; 2]$ — это значение функции в точке $x = 0$, которое равно $y_{\text{max}} = 4$.

Наименьшее значение функции на интервале $[0; 2]$ — это значение функции в точке вершины $x = 1,5$, которое равно $y_{\text{min}} = -0,5$.

Область значений функции: $E(f) = [-0,5; 4]$.

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$, $[-1; 2]$:

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 4x + 6$, сначала находим координаты вершины параболы. Используем формулу для нахождения координаты вершины:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = -2$ и $b = 4$:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{4} = 1$$

Теперь находим значение функции в точке вершины. Подставляем $x = 1$ в исходное уравнение:

$$y(1) = -2 \cdot (1)^2 + 4 \cdot 1 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1, 8)$.

Теперь построим таблицу значений функции для нескольких точек на интервале $[-1; 2]$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Подставляем значения $x = -1$, $x = 0$, и $x = 2$ в исходную функцию:

Для $x = -1$:

$$y(-1) = -2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 6 = -2 — 4 + 6 = 0$$

Для $x = 0$:

$$y(0) = -2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + 6 = 6$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = -2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 + 6 = -8 + 8 + 6 = 6$$

Наибольшее значение функции на интервале $[-1; 2]$ — это значение функции в точке вершины $x = 1$, которое равно $y_{\text{max}} = 8$.

Наименьшее значение функции на интервале $[-1; 2]$ — это значение функции в точке $x = -1$, которое равно $y_{\text{min}} = 0$.

Область значений функции: $E(f) = [0; 8]$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 — 2x — 5$, $[-4; 1]$:

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^2 — 2x — 5$, сначала находим координаты вершины параболы. Используем формулу для нахождения координаты вершины:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = -\frac{1}{2}$ и $b = -2$:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{2}{-1} = -2$$

Теперь находим значение функции в точке вершины. Подставляем $x = -2$ в исходное уравнение:

$$y(-2) = -\frac{1}{2} \cdot (-2)^2 — 2 \cdot (-2) — 5 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 — 5 = -2 + 4 — 5 = -3$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-2, -3)$.

Теперь построим таблицу значений функции для нескольких точек на интервале $[-4; 1]$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -4 & 0 & 1 \\ \hline y & -5 & -5 & -7,5 \\ \hline \end{array}$$

Подставляем значения $x = -4$, $x = 0$, и $x = 1$ в исходную функцию:

Для $x = -4$:

$$y(-4) = -\frac{1}{2} \cdot (-4)^2 — 2 \cdot (-4) — 5 = -\frac{1}{2} \cdot 16 + 8 — 5 = -8 + 8 — 5 = -5$$

Для $x = 0$:

$$y(0) = -\frac{1}{2} \cdot 0^2 — 2 \cdot 0 — 5 = -5$$

Для $x = 1$:

$$y(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 — 2 \cdot 1 — 5 = -\frac{1}{2} — 2 — 5 = -0,5 — 2 — 5 = -7,5$$

Наибольшее значение функции на интервале $[-4; 1]$ — это значение функции в точке $x = -4$ или $x = 0$, которое равно $y_{\text{max}} = -5$.

Наименьшее значение функции на интервале $[-4; 1]$ — это значение функции в точке $x = 1$, которое равно $y_{\text{min}} = -7,5$.

Область значений функции: $E(f) = [-7,5; -3]$.

г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$, $[-4; 2]$:

Для построения графика функции $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$, сначала находим координаты вершины параболы. Используем формулу для нахождения координаты вершины:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = \frac{1}{4}$ и $b = 1$:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$$

Теперь находим значение функции в точке вершины. Подставляем $x = -2$ в исходное уравнение:

$$y(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^2 + (-2) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 — 2 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-2, 0)$.

Теперь построим таблицу значений функции для нескольких точек на интервале $[-4; 2]$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -4 & 0 & 2 \\ \hline y & 1 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Подставляем значения $x = -4$, $x = 0$, и $x = 2$ в исходную функцию:

Для $x = -4$:

$$y(-4) = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 + (-4) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 16 — 4 + 1 = 4 — 4 + 1 = 1$$

Для $x = 0$:

$$y(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 + 0 + 1 = 1$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^2 + 2 + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$$

Наибольшее значение функции на интервале $[-4; 2]$ — это значение функции в точке $x = 2$, которое равно $y_{\text{max}} = 4$.

Наименьшее значение функции на интервале $[-4; 2]$ — это значение функции в точке вершины $x = -2$, которое равно $y_{\text{min}} = 0$.

Область значений функции: $E(f) = [0; 4]$.