ГДЗ Дорофеев 9 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

Алгебра

9 класс учебник Дорофеев

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 272 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

В одной системе координат постройте графики функций и укажите координаты их точек пересечения. Проверьте результат подстановкой:

а) $y = x^{2} - 4$ и $y = 2 - x$ ;
б) $y = x^{2} + 4 x + 3$ и $y = x + 3$ ;
в) $y = 9 - x^{2}$ и $y = x + 7$ ;
г) $y = 2 x - x^{2}$ и $x + y = 0$ .

Краткий ответ:

$2 — 2 = 0.$ а) $y = x^{2} - 4$ и $y = 2 - x$ :

$1) y = x^{2} - 4$ — уравнение параболы:

$\begin{array}{cccccccc} x & - 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 5 & 0 & - 3 & - 4 & - 3 & 0 & 5 \end{array}$

$2) y = 2 - x$ — уравнение прямой:

$\begin{array}{ccc} x & 0 & 2 \\ y & 2 & 0 \end{array}$

3) Точки пересечения: $(- 3; 5)$ и $(2; 0)$ .

4) Проверка подстановкой:

$(- 3)^{2} - 4 = 9 - 4 = 5;$

$2 - (- 3) = 2 + 3 = 5;$

$2^{2} - 4 = 4 - 4 = 0;$

$2 - 2 = 0.$

$0 + 3 = 3.$

б) $y = x^{2} + 4 x + 3$ и $y = x + 3$ :

${1) x}^{2} + 4 x + 3$ — уравнение параболы:

$\begin{array}{cccccccc} x & - 5 & - 4 & - 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 \\ y & 8 & 3 & 0 & - 1 & 0 & 3 & 8 \end{array}$

$2) y = x + 3$ — уравнение прямой:

$\begin{array}{ccc} x & - 2 & 0 \\ y & 1 & 3 \end{array}$

3) Точки пересечения: $(- 3; 0)$ и $(0; 3)$ .

4) Проверка подстановкой:

$(- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0;$

$(- 3) + 3 = 0;$

$0^{2} + 4 \cdot 0 + 3 = 3;$

$0 + 3 = 3.$

$2 + 5 = 7.$

в) $y = 9 - x^{2}$ и $y = x + 7$ :

$1) y = 9 - x^{2}$ — уравнение параболы:

$\begin{array}{cccccccc} x & - 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 0 & 5 & 8 & 9 & 8 & 5 & 0 \end{array}$

$2) y = 7 - x$ — уравнение прямой:

$\begin{array}{ccc} x & 0 & 1 \\ y & 7 & 6 \end{array}$

3) Точки пересечения: $(- 1; 8)$ и $(2; 5)$ .

4) Проверка подстановкой:

$9 - (- 1)^{2} = 9 - 1 = 8;$

$7 - (- 1) = 7 + 1 = 8;$

$9 - 2^{2} = 9 - 4 = 5;$

$2 + 5 = 7.$

г) $y = 2 x - x^{2}$ и $x$ $+ y = 0$ :

$1) y = 2 x - x^{2}$ — уравнение параболы:

$\begin{array}{cccccccc} x & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ y & - 8 & - 3 & 0 & 1 & 0 & - 3 & - 8 \end{array}$

$2) y = - x$ — уравнение прямой:

$\begin{array}{ccc} x & - 1 & 1 \\ y & 1 & - 1 \end{array}$

3) Точки пересечения: $(0; 0)$ и $(3; - 3)$ .

4) Проверка подстановкой:

$2 \cdot 0 - 0^{2} = 0;$

$- 0 = 0;$

$2 \cdot 3 - 3^{2} = 6 - 9 = - 3;$

$- 3 = - 3.$

Подробный ответ:

а) $y = x^{2} - 4$ и $y = 2 - x$ :

$y = x^{2} - 4$ — уравнение параболы:
Для этого уравнения подставляем значения $x = - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ , чтобы построить таблицу значений.

Для $x = - 3$ :

$y = (- 3)^{2} - 4 = 9 - 4 = 5$

Для $x = - 2$ :

$y = (- 2)^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$

Для $x = - 1$ :

$y = (- 1)^{2} - 4 = 1 - 4 = - 3$

Для $x = 0$ :

$y = 0^{2} - 4 = 0 - 4 = - 4$

Для $x = 1$ :

$y = 1^{2} - 4 = 1 - 4 = - 3$

Для $x = 2$ :

$y = 2^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$

Для $x = 3$ :

$y = 3^{2} - 4 = 9 - 4 = 5$

Таблица значений для уравнения $y = x^{2} - 4$ :

$\begin{array}{cccccccc} x & - 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 5 & 0 & - 3 & - 4 & - 3 & 0 & 5 \end{array}$

$y = 2 - x$ — уравнение прямой:
Теперь подставляем значения $x = 0$ и $x = 2$ для прямой.

Для $x = 0$ :

$y = 2 - 0 = 2$

Для $x = 2$ :

$y = 2 - 2 = 0$

Таблица значений для уравнения $y = 2 - x$ :

$\begin{array}{ccc} x & 0 & 2 \\ y & 2 & 0 \end{array}$

Точки пересечения:
Для нахождения точек пересечения, приравняем два уравнения:

$x^{2} - 4 = 2 - x$

Преобразуем уравнение:

$x^{2} + x - 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^{2} - 4 a c$

где $a = 1$ , $b = 1$ , $c = - 6$ :

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 1 - 5}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, точки пересечения: $(- 3; 5)$ и $(2; 0)$ .

Проверка подстановкой:
Для $x = - 3$ :

$(- 3)^{2} - 4 = 9 - 4 = 5$

$2 - (- 3) = 2 + 3 = 5$

Для $x = 2$ :

$2^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$

$2 - 2 = 0$

б) $y = x^{2} + 4 x + 3$ и $y = x + 3$ :

$y = x^{2} + 4 x + 3$ — уравнение параболы:
Подставляем значения $x = - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1$ для построения таблицы.

Для $x = - 5$ :

$y = (- 5)^{2} + 4 \cdot (- 5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

Для $x = - 4$ :

$y = (- 4)^{2} + 4 \cdot (- 4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

Для $x = - 3$ :

$y = (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$

Для $x = - 2$ :

$y = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1$

Для $x = - 1$ :

$y = (- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

Для $x = 0$ :

$y = 0^{2} + 4 \cdot 0 + 3 = 3$

Для $x = 1$ :

$y = 1^{2} + 4 \cdot 1 + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

Таблица значений для уравнения $y = x^{2} + 4 x + 3$ :

$\begin{array}{cccccccc} x & - 5 & - 4 & - 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 \\ y & 8 & 3 & 0 & - 1 & 0 & 3 & 8 \end{array}$

$y = x + 3$ — уравнение прямой:
Подставляем значения $x = - 2$ и $x = 0$ для прямой.

Для $x = - 2$ :

$y = - 2 + 3 = 1$

Для $x = 0$ :

$y = 0 + 3 = 3$

Таблица значений для уравнения $y = x + 3$ :

$\begin{array}{ccc} x & - 2 & 0 \\ y & 1 & 3 \end{array}$

Точки пересечения:
Приравняем два уравнения:

$x^{2} + 4 x + 3 = x + 3$

Преобразуем уравнение:

$x^{2} + 3 x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x (x + 3) = 0$

Таким образом, $x = 0$ или $x = - 3$ .
Таким образом, точки пересечения: $(- 3; 0)$ и $(0; 3)$ .

Проверка подстановкой:
Для $x = - 3$ :

$(- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$

$- 3 + 3 = 0$

Для $x = 0$ :

$0^{2} + 4 \cdot 0 + 3 = 3$

$0 + 3 = 3$

в) $y = 9 - x^{2}$ и $y = x + 7$ :

$y = 9 - x^{2}$ — уравнение параболы:
Подставляем значения $x = - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ для построения таблицы.

Для $x = - 3$ :

$y = 9 - (- 3)^{2} = 9 - 9 = 0$

Для $x = - 2$ :

$y = 9 - (- 2)^{2} = 9 - 4 = 5$

Для $x = - 1$ :

$y = 9 - (- 1)^{2} = 9 - 1 = 8$

Для $x = 0$ :

$y = 9 - 0^{2} = 9$

Для $x = 1$ :

$y = 9 - 1^{2} = 9 - 1 = 8$

Для $x = 2$ :

$y = 9 - 2^{2} = 9 - 4 = 5$

Для $x = 3$ :

$y = 9 - 3^{2} = 9 - 9 = 0$

Таблица значений для уравнения $y = 9 - x^{2}$ :

$\begin{array}{cccccccc} x & - 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 0 & 5 & 8 & 9 & 8 & 5 & 0 \end{array}$

$y = x + 7$ — уравнение прямой:
Подставляем значения $x = 0$ и $x = 1$ для прямой.

Для $x = 0$ :

$y = 0 + 7 = 7$

Для $x = 1$ :

$y = 1 + 7 = 8$

Таблица значений для уравнения $y = x + 7$ :

$\begin{array}{ccc} x & 0 & 1 \\ y & 7 & 8 \end{array}$

Точки пересечения:
Приравняем два уравнения:

$9 - x^{2} = x + 7$

Преобразуем уравнение:

$x^{2} + x - 2 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = b^{2} - 4 a c$

где $a = 1$ , $b = 1$ , $c = - 2$ :

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни:

$x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, точки пересечения: $(- 2; 5)$ и $(1; 8)$ .

Проверка подстановкой:
Для $x = - 2$ :

$9 - (- 2)^{2} = 9 - 4 = 5$

$- 2 + 7 = 5$

Для $x = 1$ :

$9 - 1^{2} = 9 - 1 = 8$

$1 + 7 = 8$

г) $y = 2 x - x^{2}$ и $x + y = 0$ :

$y = 2 x - x^{2}$ — уравнение параболы:
Подставляем значения $x = - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4$ для построения таблицы.

Для $x = - 2$ :

$y = 2 \cdot (- 2) - (- 2)^{2} = - 4 - 4 = - 8$

Для $x = - 1$ :

$y = 2 \cdot (- 1) - (- 1)^{2} = - 2 - 1 = - 3$

Для $x = 0$ :

$y = 2 \cdot 0 - 0^{2} = 0$

Для $x = 1$ :

$y = 2 \cdot 1 - 1^{2} = 2 - 1 = 1$

Для $x = 2$ :

$y = 2 \cdot 2 - 2^{2} = 4 - 4 = 0$

Для $x = 3$ :

$y = 2 \cdot 3 - 3^{2} = 6 - 9 = - 3$

Для $x = 4$ :

$y = 2 \cdot 4 - 4^{2} = 8 - 16 = - 8$

Таблица значений для уравнения $y = 2 x - x^{2}$ :

$\begin{array}{cccccccc} x & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ y & - 8 & - 3 & 0 & 1 & 0 & - 3 & - 8 \end{array}$

$x + y = 0$ — уравнение прямой:
Преобразуем уравнение $x + y = 0$ в форму $y = - x$ .
Подставляем значения $x = - 1$ и $x = 1$ для прямой.

Для $x = - 1$ :

$y = - (- 1) = 1$

Для $x = 1$ :

$y = - (1) = - 1$

Таблица значений для уравнения $y = - x$ :

$\begin{array}{ccc} x & - 1 & 1 \\ y & 1 & - 1 \end{array}$

Точки пересечения:
Приравняем два уравнения:

$2 x - x^{2} = - x$

Преобразуем уравнение:

$x^{2} - 3 x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x (x - 3) = 0$

Таким образом, $x = 0$ или $x = 3$ .
Таким образом, точки пересечения: $(0; 0)$ и $(3; - 3)$ .

Проверка подстановкой:
Для $x = 0$ :

$2 \cdot 0 - 0^{2} = 0;$

$- 0 = 0;$

Для $x = 3$ :

$2 \cdot 3 - 3^{2} = 6 - 9 = - 3;$

$- 3 = - 3.$

Оцени решение