ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 271 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $y = x^2 + 6x + 5$;
б) $y = -x^2 + 2x — 5$;
в) $y = \frac{1}{2}x^2 — 2x$;
г) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x — 4$;
д) $y = x^2 + 4x + 4$.

В каждом случае укажите:

1) промежутки возрастания и убывания функции;

2) значения $x$, при которых $y = 0$; $y > 0$; $y < 0$;

3) наибольшее или наименьшее значение функции;

4) область значений функции.

а) $y = x^2 + 6x + 5$:
Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{6}{2\cdot 1}=-\frac{6}{2}=-3;$$

$$x = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -\frac{6}{2} = -3;$$ $$y = \frac{4 \cdot 1 \cdot 5 — 6^2}{4 \cdot 1} = \frac{20 — 36}{4} = \frac{-16}{4} = -4;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -5 & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 5 & 0 & -3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}$$

1) Функция возрастает при $x \in [-3; +\infty)$;
Функция убывает при $x \in (-\infty; -3]$;

$y = 0$ при $x = -5$ и $x = -1$;
$y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (-5; -1)$;

3) Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -4$;

4) Область значений: $E(f) = [-4; +\infty)$.

б) $y = -x^2 + 2x — 5$:
Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=\frac{2}{2}=1;$$

$$x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1;$$ $$y = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-5) — 2^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{20 — 4}{-4} = \frac{16}{-4} = -4;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -13 & -8 & -5 & -5 & -8 & -13 \\ \hline \end{array}$$

1) Функция возрастает при $x \in (-\infty; 1]$;
Функция убывает при $x \in [1; +\infty)$;

$y < 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$;

3) Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = -4$;

4) Область значений: $E(f) = (-\infty; -4]$.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 — 2x$:
Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-2}{2\cdot 0.5}=\frac{2}{1}=2;$$

$$x = -\frac{-2}{2 \cdot 0.5} = \frac{2}{1} = 2;$$ $$y = \frac{4 \cdot 0.5 \cdot 0 — (-2)^2}{4 \cdot 0.5} = \frac{0 — 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & 0 & 4 & 6 & 7 \\ \hline y & 10.5 & 6 & 0 & 0 & 6 & 10.5 \\ \hline \end{array}$$

1) Функция возрастает при $x \in [2; +\infty)$;
Функция убывает при $x \in (-\infty; 2]$;

$y = 0$ при $x = 0$ и $x = 4$;
$y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (0; 4)$;

3) Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -2$;

4) Область значений: $E(f) = [-2; +\infty)$.

г) $y = -2x^2 + 8$:
Координаты вершины параболы:

$$x = 0 \quad \text{и} \quad y = 8;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 6 & 6 & 0 \\ \hline \end{array}$$

1) Функция возрастает при $x \in (-\infty; 0]$;
Функция убывает при $x \in [0; +\infty)$;

$y = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$;
$y > 0$ при $x \in (-2; 2)$;
$y < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$;

3) Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 8$;

4) Область значений: $E(f) = (-\infty; 8]$.

$y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x — 4$:

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{3}{2\cdot (-0.5)}=\frac{3}{1}=3;$$

$$x = -\frac{3}{2 \cdot (-0.5)} = \frac{3}{1} = 3;$$ $$y = \frac{4 \cdot (-0.5) \cdot (-4) — 3^2}{4 \cdot (-0.5)} = \frac{8 — 9}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2};$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline y & -12 & -4 & 0 & 0 & -4 & -12 \\ \hline \end{array}$$

1) Функция возрастает при $x \in (-\infty; 3]$;
Функция убывает при $x \in [3; +\infty)$;

$y = 0$ при $x = 2$ и $x = 4$;
$y > 0$ при $x \in (2; 4)$;
$y < 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$;

3) Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 0.5$;

4) Область значений: $E(f) = (-\infty; 0.5]$;

$y = x^2 + 4x + 4$:

$y = (x + 2)^2$;

Координаты вершины параболы:

$$x = -2 \quad \text{и} \quad y = 0;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}$$

1) Функция возрастает при $x \in [-2; +\infty)$;
Функция убывает при $x \in (-\infty; -2]$;

$y = 0$ при $x = -2$;
$y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$;

3) Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = 0$;

4) Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.

а) $y = x^2 + 6x + 5$:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем координаты вершины параболы. Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ координата вершины по оси $x$ вычисляется по формуле:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

В данном случае $a = 1$, $b = 6$. Подставляем эти значения:

$$x = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -\frac{6}{2} = -3$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $x = -3$.
Так как $a = 1 > 0$, это значит, что парабола открывается вверх, и функция возрастает после вершины (при $x > -3$) и убывает до вершины (при $x < -3$).

Промежутки возрастания и убывания функции:

Функция возрастает при $x \in [-3; +\infty)$

Функция убывает при $x \in (-\infty; -3]$

Для нахождения значений $x$, при которых $y = 0$, решим квадратное уравнение:

$$x^2 + 6x + 5 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 6$, $c = 5$. Подставляем значения:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Дискриминант положительный, значит у уравнения два действительных корня. Найдем их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-6-4}{2\cdot 1}=\frac{-10}{2}=-5$$

$$x_1 = \frac{-6 — 4}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{-6 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$$

Таким образом, $y = 0$ при $x = -5$ и $x = -1$.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых $y > 0$ и $y < 0$, нужно анализировать знаки функции на различных интервалах. Функция $y = x^2 + 6x + 5$ имеет положительное значение на промежутках, где она выше оси $x$, и отрицательное значение на промежутках, где она ниже оси $x$.

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty)$

$y < 0$ при $x \in (-5; -1)$

Так как вершина параболы имеет значение $y = -4$, это наименьшее значение функции.

Область значений функции:
Поскольку парабола открывается вверх, минимальное значение функции равно $-4$, и функция может принимать все значения, начиная с $-4$ и до бесконечности.
Область значений функции: $E(f)=[-4;+\mathrm{\infty })$

б) $y = -x^2 + 2x — 5$:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем координаты вершины параболы. Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ координата вершины по оси $x$ вычисляется по формуле:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

В данном случае $a = -1$, $b = 2$. Подставляем эти значения:

$$x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $x = -1$.
Так как $a = -1 < 0$, это значит, что парабола открывается вниз, и функция возрастает до вершины (при $x < -1$) и убывает после вершины (при $x > -1$).

Промежутки возрастания и убывания функции:

Функция возрастает при $x \in (-\infty; -1]$

Функция убывает при $x \in [-1; +\infty)$

Для нахождения значений $x$, при которых $y = 0$, решим квадратное уравнение:

$$-x^2 + 2x — 5 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = -1$, $b = 2$, $c = -5$. Подставляем значения:

$$D = 2^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 4 — 20 = -16$$

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней, и график функции не пересекает ось $x$. Таким образом, $y < 0$ на всем интервале $x \in (-\infty; +\infty)$.

Так как парабола открывается вниз и её максимальное значение достигается в вершине, максимальное значение функции равно $-4$.

Область значений функции:
Так как парабола открывается вниз, максимальное значение функции равно $-4$, и функция может принимать все значения, меньшие или равные $-4$.
Область значений функции: $E(f) = (-\infty; -4]$

в) $y = \frac{1}{2}x^2 — 2x$:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем координаты вершины параболы. Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ координата вершины по оси $x$ вычисляется по формуле:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

В данном случае $a = \frac{1}{2}$, $b = -2$. Подставляем эти значения:

$$x = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{1} = 2$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $x = 2$.
Так как $a = \frac{1}{2} > 0$, это значит, что парабола открывается вверх, и функция возрастает после вершины (при $x > 2$) и убывает до вершины (при $x < 2$).

Промежутки возрастания и убывания функции:

Функция возрастает при $x \in [2; +\infty)$

Функция убывает при $x \in (-\infty; 2]$

Для нахождения значений $x$, при которых $y = 0$, решим квадратное уравнение:

$$\frac{1}{2}x^2 — 2x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x \left( \frac{1}{2}x — 2 \right) = 0$$

Таким образом, $x = 0$ или $\frac{1}{2}x — 2 = 0$, отсюда $x = 4$.
Таким образом, $y = 0$ при $x = 0$ и $x = 4$.

Так как парабола открывается вверх, наименьшее значение функции достигается в вершине, где $y = -2$.

Область значений функции:
Так как парабола открывается вверх, минимальное значение функции равно $-2$, и функция может принимать все значения, начиная с $-2$ и до бесконечности.
Область значений функции: $E(f) = [-2; +\infty)$

г) $y = -2x^2 + 8$:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем координаты вершины параболы. Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ координата вершины по оси $x$ вычисляется по формуле:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

В данном случае $a = -2$, $b = 0$. Подставляем эти значения:

$$x = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $x = 0$.
Так как $a = -2 < 0$, это значит, что парабола открывается вниз, и функция возрастает до вершины (при $x < 0$) и убывает после вершины (при $x > 0$).

Промежутки возрастания и убывания функции:

Функция возрастает при $x \in (-\infty; 0]$

Функция убывает при $x \in [0; +\infty)$

Для нахождения значений $x$, при которых $y = 0$, решим квадратное уравнение:

$$-2x^2 + 8 = 0$$

Переносим 8 на правую сторону:

$$-2x^2 = -8$$

Делим обе части на $-2$:

$$x^2 = 4$$

Извлекаем корень:

$$x = \pm 2$$

Таким образом, $y = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.

Так как парабола открывается вниз, наибольшее значение функции достигается в вершине, где $y = 8$.

Область значений функции:
Так как парабола открывается вниз, максимальное значение функции равно $8$, и функция может принимать все значения, меньшие или равные $8$.
Область значений функции: $E(f)=(-\mathrm{\infty };8]$

д) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x — 4$:

Для нахождения координат вершины параболы используем формулы для абсциссы вершины:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

где $a = -\frac{1}{2}$ и $b = 3$. Подставляем значения:

$$x = -\frac{3}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{3}{1} = 3$$

Таким образом, абсцисса вершины параболы равна $x = 3$.

Теперь находим ординату вершины. Подставляем $x = 3$ в исходное уравнение:

$$y = -\frac{1}{2} \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 — 4$$

Вычислим это поэтапно:

$$y = -\frac{1}{2} \cdot 9 + 9 — 4 = -\frac{9}{2} + 9 — 4$$

Приводим к общему знаменателю:

$$y = -\frac{9}{2} + \frac{18}{2} — \frac{8}{2} = \frac{-9 + 18 — 8}{2} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, ордината вершины $y = \frac{1}{2}$.

Координаты вершины параболы: $(3; \frac{1}{2})$.

Для нахождения значений $x$, при которых $y = 0$, решим уравнение:

$$-\frac{1}{2}x^2 + 3x — 4 = 0$$

Умножим обе части на $-2$, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2 — 6x + 8 = 0$$

Вычислим дискриминант для этого уравнения:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -6$, $c = 8$. Подставляем значения:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Дискриминант положительный, значит у уравнения два действительных корня. Найдем их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$$

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Таким образом, $y = 0$ при $x = 2$ и $x = 4$.

Теперь рассмотрим значения функции на интервалах, разделённых этими корнями. Парабола открывается вниз, так как $a = -\frac{1}{2} < 0$, следовательно, $y > 0$ на промежутке между корнями и $y < 0$ за пределами этих промежутков.

$y > 0$ при $x \in (2; 4)$

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$

Так как парабола открывается вниз, наибольшее значение функции достигается в вершине. Мы уже нашли, что вершина параболы находится в точке $y = \frac{1}{2}$.

Область значений функции:
Поскольку парабола открывается вниз, максимальное значение функции равно $\frac{1}{2}$, и функция может принимать все значения, меньшие или равные $\frac{1}{2}$.
Область значений функции: $E(f) = (-\infty; \frac{1}{2}]$

е) $y = x^2 + 4x + 4$:

Для нахождения координат вершины параболы используем формулы для абсциссы вершины:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

где $a = 1$, $b = 4$. Подставляем эти значения:

$$x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$$

Таким образом, абсцисса вершины параболы равна $x = -2$.

Теперь находим ординату вершины. Подставляем $x = -2$ в исходное уравнение:

$$y = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 4$$

Вычислим это:

$$y = 4 — 8 + 4 = 0$$

Таким образом, ордината вершины $y = 0$.

Координаты вершины параболы: $(-2; 0)$.

Для нахождения значений $x$, при которых $y = 0$, решим уравнение:

$$x^2 + 4x + 4 = 0$$

Это уравнение можно представить как полный квадрат:

$$(x + 2)^2 = 0$$

Таким образом, $x + 2 = 0$, отсюда $x = -2$.
Таким образом, $y = 0$ при $x = -2$.

Теперь рассмотрим знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$

$y < 0$ не существует, так как функция всегда неотрицательна.

Так как парабола открывается вверх, минимальное значение функции равно $0$, и оно достигается в вершине.

Область значений функции:
Поскольку парабола открывается вверх, минимальное значение функции равно $0$, и функция может принимать все значения, начиная с $0$ и до бесконечности.
Область значений функции: $E(f)=[0;+\mathrm{\infty })$

$$$E(f) = [0; +\infty)$$E(f) = (-\infty; 8]$