ГДЗ Дорофеев 9 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 270 Дорофеев, Суворова - Подробные Ответы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

9 класс

Класс

Предмет

ГДЗ Дорофеев 7, 8, 9 Класс по Алгебре Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 270 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

На рисунке 2.36, а—г изображены графики нескольких квадратичных функций. В каждом случае найдите координаты отмеченных точек.

Краткий ответ

а) $y = x^{2} + 6 x + 5$ :

1) Для точек $A$ и $B$ ( $y = 0$ ):

$x^{2} + 6 x + 5 = 0;$

$D = 6^{2} - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16, тогда:$

$x_{1} = \frac{- 6 - 4}{2} = - 5 и x_{2} = \frac{- 6 + 4}{2} = - 1;$

2) Для точки $C$ ( $x = 0$ ):

$y = 0^{2} + 0 \cdot 6 + 5 = 5;$

Ответ: $A (- 5; 0); B (- 1; 0); C (0; 5)$ .

б) $y = - \frac{1}{4} x^{2} + 2 x$ :

1) Для точек $O$ и $N$ ( $y = 0$ ):

$- \frac{1}{4} x^{2} + 2 x = 0 ∣ \cdot (- 4);$ $x^{2} - 8 x = 0;$

$x (x - 8) = 0, тогда:$

$x_{1} = 0 и x_{2} - 8 = 0, отсюда x_{2} = 8;$

2) Для точки $M$ (вершины параболы):

$x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot (- 0.25)} = \frac{2}{0.5} = 4;$

$y = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = \frac{4 \cdot (- 0.25) \cdot 0 - 2^{2}}{4 \cdot (- 0.25)} = \frac{- 4}{- 1} = 4;$

Ответ: $M (4; 4); N (8; 0); O (0; 0)$ .

в) $y = - 2 x^{2} + 6$ :

1) Для точек $P$ и $N$ ( $y = 0$ ):

$- 2 x^{2} + 6 = 0;$ $- 2 x^{2} = - 6;$ $x^{2} = 3, отсюда x = \pm \sqrt{3};$

2) Для точки $Q$ ( $x = 0$ ):

$y = - 2 \cdot 0^{2} + 6 = 6;$

Ответ: $N (\sqrt{3}; 0); P (- \sqrt{3}; 0); Q (0; 6)$ .

г) $y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x - 4$ :

1) Для точек $A$ и $D$ ( $y = 0$ ):

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x - 4 = 0 ∣ \cdot 3;$

$x^{2} - 4 x - 12 = 0;$

$D = 4^{2} + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64, тогда:$

$x_{1} = \frac{4 - 8}{2} = - 2 и x_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6;$

2) Для точки $B$ ( $x = 0$ ):

$y = \frac{1}{3} \cdot 0^{2} - \frac{4}{3} \cdot 0 - 4 = - 4;$

3) Для точки $C$ (вершины параболы):

$x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- \frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = 2;$ $y = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = \frac{4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 4) - {(- \frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{- \frac{16}{3} - \frac{16}{9}}{\frac{4}{3}} =$

$\frac{- \frac{48}{9} - \frac{16}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{- \frac{64}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{- 64}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{- 64}{12} = - 5 \frac{1}{3};$

Ответ: $A (- 2; 0); B (0; - 4); C (2; - 5 \frac{1}{3}); D (6; 0)$ .

Подробный ответ

а) $y = x^{2} + 6 x + 5$ :

1) Для точек $A$ и $B$ ( $y = 0$ ):
Необходимо решить квадратное уравнение:

$x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Решаем его с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$D = b^{2} - 4 a c$

где $a = 1$ , $b = 6$ , $c = 5$ . Подставляем значения:

$D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два действительных корня. Корни находим по формуле:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$

Подставляем значения:

$x_{1} = \frac{- 6 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{- 10}{2} = - 5$

$x_{2} = \frac{- 6 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{- 2}{2} = - 1$

Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точках $A (- 5; 0)$ и $B (- 1; 0)$ .

2) Для точки $C$ ( $x = 0$ ):
Подставляем $x = 0$ в уравнение:

$y = 0^{2} + 6 \cdot 0 + 5 = 5$

Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке $C (0; 5)$ .

Ответ: $A (- 5; 0); B (- 1; 0); C (0; 5)$ .

б) $y = - \frac{1}{4} x^{2} + 2 x$ :

1) Для точек $O$ и $N$ ( $y = 0$ ):
Необходимо решить уравнение:

$- \frac{1}{4} x^{2} + 2 x = 0$

Умножаем обе части на $- 4$ , чтобы избавиться от дроби:

$x^{2} - 8 x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x (x - 8) = 0$

Решение этого уравнения дает два корня:

$x_{1} = 0 и x_{2} = 8$

Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точках $O (0; 0)$ и $N (8; 0)$ .

2) Для точки $M$ (вершины параболы):
Для нахождения абсциссы вершины параболы используем формулу:

$x = - \frac{b}{2 a}$

где $a = - \frac{1}{4}$ , $b = 2$ . Подставляем значения:

$x = - \frac{2}{2 \cdot (- \frac{1}{4})} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

Теперь находим ординату вершины, подставив $x = 4$ в уравнение функции:

$y = - \frac{1}{4} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 = - \frac{1}{4} \cdot 16 + 8 = - 4 + 8 = 4$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $M (4; 4)$ .

Ответ: $M (4; 4); N (8; 0); O (0; 0)$ .

в) $y = - 2 x^{2} + 6$ :

1) Для точек $P$ и $N$ ( $y = 0$ ):
Необходимо решить уравнение:

$- 2 x^{2} + 6 = 0$

Переносим 6 на правую сторону:

$- 2 x^{2} = - 6$

Делим обе части на $- 2$ :

$x^{2} = 3$

Извлекаем корень:

$x = \pm \sqrt{3}$

Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точках $P (- \sqrt{3}; 0)$ и $N (\sqrt{3}; 0)$ .

2) Для точки $Q$ ( $x = 0$ ):
Подставляем $x = 0$ в уравнение:

$y = - 2 \cdot 0^{2} + 6 = 6$

Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке $Q (0; 6)$ .

Ответ: $N (\sqrt{3}; 0); P (- \sqrt{3}; 0); Q (0; 6)$ .

г) $y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x - 4$ :

1) Для точек $A$ и $D$ ( $y = 0$ ):
Необходимо решить уравнение:

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x - 4 = 0$

Умножаем обе части на 3, чтобы избавиться от дробей:

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Теперь вычислим дискриминант $D$ для этого уравнения:

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 16 + 48 = 64$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два действительных корня. Находим их:

$x_{1} = \frac{- (- 4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- (- 4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = 6$

Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точках $A (- 2; 0)$ и $D (6; 0)$ .

2) Для точки $B$ ( $x = 0$ ):
Подставляем $x = 0$ в уравнение:

$y = \frac{1}{3} \cdot 0^{2} - \frac{4}{3} \cdot 0 - 4 = - 4$

Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке $B (0; - 4)$ .

3) Для точки $C$ (вершины параболы):
Для нахождения абсциссы вершины параболы используем формулу:

$x = - \frac{b}{2 a}$

где $a = \frac{1}{3}$ , $b = - \frac{4}{3}$ . Подставляем значения:

$x = - \frac{- \frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = 2$

Теперь находим ординату вершины, подставив $x = 2$ в уравнение функции:

$y = \frac{1}{3} \cdot 2^{2} - \frac{4}{3} \cdot 2 - 4 = \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{8}{3} - 4 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = \frac{- 16}{9} = - 5 \frac{1}{3}$