ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 270 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 2.36, а—г изображены графики нескольких квадратичных функций. В каждом случае найдите координаты отмеченных точек.

а) $y=x^2+6x+5$:

1) Для точек $A$ и $B$ ($y=0$):

$$x^2+6x+5=0;$$

$$$$$$D=6^2-4\cdot 5=36-20=16,\text{ тогда: }$$

$$$$$$x_1=\frac{-6-4}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-6+4}{2}=-1;$$

2) Для точки $C$ ($x=0$):

$$y=0^2+0\cdot 6+5=5;$$

Ответ: $A(-5;0);B(-1;0);C(0;5)$.

б) $y=-\frac{1}{4}{x}^2+2x$:

1) Для точек $O$ и $N$ ($y=0$):

$$-\frac{1}{4}{x}^2+2x=0\mathrm{\mid }\cdot (-4);$$$$x^2-8x=0;$$

$$$$$$x(x-8)=0,\text{ тогда: }$$

$$$$$$x_1=0\text{и}{x}_2-8=0,\text{ отсюда }{x}_2=8;$$

2) Для точки $M$ (вершины параболы):

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot (-0.25)}=\frac{2}{0.5}=4;$$

$$$$$$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\cdot (-0.25)\cdot 0-2^2}{4\cdot (-0.25)}=\frac{-4}{-1}=4;$$

Ответ: $M(4;4);N(8;0);O(0;0)$.

в) $y=-2x^2+6$:

1) Для точек $P$ и $N$ ($y=0$):

$$-2x^2+6=0;$$$$-2x^2=-6;$$$$x^2=3,\text{ отсюда }x=\pm \sqrt{3};$$

2) Для точки $Q$ ($x=0$):

$$y=-2\cdot 0^2+6=6;$$

Ответ: $N(\sqrt{3};0);P(-\sqrt{3};0);Q(0;6)$.

г) $y=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{4}{3}x-4$:

1) Для точек $A$ и $D$ ($y=0$):

$$\frac{1}{3}{x}^2-\frac{4}{3}x-4=0\mathrm{\mid }\cdot 3;$$

$$$$$$x^2-4x-12=0;$$

$$$$$$D=4^2+4\cdot 12=16+48=64,\text{ тогда: }$$

$$$$$$x_1=\frac{4-8}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{4+8}{2}=6;$$

2) Для точки $B$ ($x=0$):

$$y=\frac{1}{3}\cdot 0^2-\frac{4}{3}\cdot 0-4=-4;$$

3) Для точки $C$ (вершины параболы):

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{4}{3}}{2\cdot \frac{1}{3}}=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}=2;$$$$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\cdot \frac{1}{3}\cdot (-4)-{(-\frac{4}{3})}^2}{4\cdot \frac{1}{3}}=\frac{-\frac{16}{3}-\frac{16}{9}}{\frac{4}{3}}=$$

$$\frac{-\frac{48}{9}-\frac{16}{9}}{\frac{4}{3}}=\frac{-\frac{64}{9}}{\frac{4}{3}}=\frac{-64}{9}\cdot \frac{3}{4}=\frac{-64}{12}=-5\frac{1}{3};$$

Ответ: $A(-2;0);B(0;-4);C(2;-5\frac{1}{3});D(6;0)$.

а) $y=x^2+6x+5$:

1) Для точек $A$ и $B$ ($y=0$):
Необходимо решить квадратное уравнение:

$$x^2+6x+5=0$$

Решаем его с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=1$, $b=6$, $c=5$. Подставляем значения:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$$

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два действительных корня. Корни находим по формуле:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-6-4}{2\cdot 1}=\frac{-10}{2}=-5$$

$$$$$$x_2=\frac{-6+4}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1$$

Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точках $A(-5;0)$ и $B(-1;0)$.

2) Для точки $C$ ($x=0$):
Подставляем $x=0$ в уравнение:

$$y=0^2+6\cdot 0+5=5$$

Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке $C(0;5)$.

Ответ: $A(-5;0);B(-1;0);C(0;5)$.

б) $y=-\frac{1}{4}{x}^2+2x$:

1) Для точек $O$ и $N$ ($y=0$):
Необходимо решить уравнение:

$$-\frac{1}{4}{x}^2+2x=0$$

Умножаем обе части на $-4$, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2-8x=0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x-8)=0$$

Решение этого уравнения дает два корня:

$$x_1=0\text{и}{x}_2=8$$

Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точках $O(0;0)$ и $N(8;0)$.

2) Для точки $M$ (вершины параболы):
Для нахождения абсциссы вершины параболы используем формулу:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

где $a=-\frac{1}{4}$, $b=2$. Подставляем значения:

$$x=-\frac{2}{2\cdot (-\frac{1}{4})}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$$

Теперь находим ординату вершины, подставив $x=4$ в уравнение функции:

$$y=-\frac{1}{4}\cdot 4^2+2\cdot 4=-\frac{1}{4}\cdot 16+8=-4+8=4$$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $M(4;4)$.

Ответ: $M(4;4);N(8;0);O(0;0)$.

в) $y=-2x^2+6$:

1) Для точек $P$ и $N$ ($y=0$):
Необходимо решить уравнение:

$$-2x^2+6=0$$

Переносим 6 на правую сторону:

$$-2x^2=-6$$

Делим обе части на $-2$:

$$x^2=3$$

Извлекаем корень:

$$x=\pm \sqrt{3}$$

Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точках $P(-\sqrt{3};0)$ и $N(\sqrt{3};0)$.

2) Для точки $Q$ ($x=0$):
Подставляем $x=0$ в уравнение:

$$y=-2\cdot 0^2+6=6$$

Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке $Q(0;6)$.

Ответ: $N(\sqrt{3};0);P(-\sqrt{3};0);Q(0;6)$.

г) $y=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{4}{3}x-4$:

1) Для точек $A$ и $D$ ($y=0$):
Необходимо решить уравнение:

$$\frac{1}{3}{x}^2-\frac{4}{3}x-4=0$$

Умножаем обе части на 3, чтобы избавиться от дробей:

$$x^2-4x-12=0$$

Теперь вычислим дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-12)=16+48=64$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два действительных корня. Находим их:

$$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{4-8}{2}=-2$$

$$$$$$x_2=\frac{-(-4)+\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{4+8}{2}=6$$

Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точках $A(-2;0)$ и $D(6;0)$.

2) Для точки $B$ ($x=0$):
Подставляем $x=0$ в уравнение:

$$y=\frac{1}{3}\cdot 0^2-\frac{4}{3}\cdot 0-4=-4$$

Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке $B(0;-4)$.

3) Для точки $C$ (вершины параболы):
Для нахождения абсциссы вершины параболы используем формулу:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

где $a=\frac{1}{3}$, $b=-\frac{4}{3}$. Подставляем значения:

$$x=-\frac{-\frac{4}{3}}{2\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}=2$$

Теперь находим ординату вершины, подставив $x=2$ в уравнение функции:

$$y=\frac{1}{3}\cdot 2^2-\frac{4}{3}\cdot 2-4=\frac{1}{3}\cdot 4-\frac{8}{3}-4=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}-\frac{12}{3}=\frac{-16}{9}=-5\frac{1}{3}$$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $C(2;-5\frac{1}{3})$.

Ответ: $A(-2;0);B(0;-4);C(2;-5\frac{1}{3});D(6;0)$.