ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 268 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

График функции $y = f(x)$ пересекает оси координат в точках $A$, $B$ и $C$. Найдите неизвестную координату каждой из этих точек, если:

a) $f(x) = 3x^2 — 4x + 1$; $A(0; …), B(…; 0), C(…; 0)$;

б) $f(x) = -x^2 + 22x — 120$; $A(0; …), B(…; 0), C(…; 0)$;

в) $f(x) = -x^2 + 25$; $A(0; …), B(…; 0), C(…; 0)$;

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 — 8$; $A(0; …), B(…; 0), C(…; 0)$.

$f(x) = 3x^2 — 4x + 1$:

Для точки $A(0; …)$:

$$y = f(0) = 3 \cdot 0^2 — 4 \cdot 0 + 1 = 1;$$

Для точек $B(…; 0)$ и $C(…; 0)$:

$$3x^2-4x+1=0;$$

$$3x^2 — 4x + 1 = 0;$$ $$D=4^2-3\cdot 4=16-12=4,\text{ тогда: }$$

$$D = 4^2 — 3 \cdot 4 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{4 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1;$$

Ответ: $A(0; 1); \, B\left(\frac{1}{3}; 0\right); \, C(1; 0)$.

$f(x) = -x^2 + 22x — 120$:

Для точки $A(0; …)$:

$$y = f(0) = -0^2 + 22 \cdot 0 — 120 = -120;$$

Для точек $B(…; 0)$ и $C(…; 0)$:

$$-x^2+22x-120=0;$$

$$-x^2 + 22x — 120 = 0;$$ $$D={22}^2-4\cdot 120=484-480=4,\text{ тогда: }$$

$$D = 22^2 — 4 \cdot 120 = 484 — 480 = 4, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-22 — 2}{2 \cdot (-1)} = \frac{-24}{-2} = 12 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-22 + 2}{2 \cdot (-1)} = \frac{-20}{-2} = 10;$$

Ответ: $A(0; -120); \, B(12; 0); \, C(10; 0)$.

$f(x) = -x^2 + 25$:

Для точки $A(0; …)$:

$$y = f(0) = -0^2 + 25 = 25;$$

Для точек $B(…; 0)$ и $C(…; 0)$:

$$-x^2+25=0;$$

$$-x^2 + 25 = 0;$$ $$25 = x^2, \text{ отсюда } x = \sqrt{25} = \pm 5;$$

Ответ: $A(0; 25); \, B(-5; 0); \, C(5; 0)$.

$f(x) = \frac{1}{2}x^2 — 8$:

Для точки $A(0; …)$:

$$y = f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^2 — 8 = -8;$$

Для точек $B(…; 0)$ и $C(…; 0)$:

$$\frac{1}{2}{x}^2-8=0\mathrm{\mid }\cdot 2;$$

$$\frac{1}{2}x^2 — 8 = 0 \quad | \cdot 2;$$ $$x^2-16=0;$$

$$x^2 — 16 = 0;$$ $$x^2 = 16, \text{ отсюда } x = \sqrt{16} = \pm 4;$$

Ответ: $A(0; -8); \, B(-4; 0); \, C(4; 0)$.

$f(x) = 3x^2 — 4x + 1$:

Для точки $A(0; …)$:

$$y = f(0) = 3 \cdot 0^2 — 4 \cdot 0 + 1 = 1$$

Для точек $B(…; 0)$ и $C(…; 0)$:

$$3x^2 — 4x + 1 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4$$

Корни уравнения находим по формуле:

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

и

$$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Ответ: $A(0; 1); \, B\left(\frac{1}{3}; 0\right); \, C(1; 0)$.

$f(x) = -x^2 + 22x — 120$:

Для точки $A(0; …)$:

$$y = f(0) = -0^2 + 22 \cdot 0 — 120 = -120$$

Для точек $B(…; 0)$ и $C(…; 0)$:

$$-x^2 + 22x — 120 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$:

$$D = 22^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-120) = 484 — 480 = 4$$

Корни уравнения находим по формуле:

$$x_1 = \frac{-22 — \sqrt{4}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-24}{-2} = 12$$

и

$$x_2 = \frac{-22 + \sqrt{4}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-20}{-2} = 10$$

Ответ: $A(0; -120); \, B(12; 0); \, C(10; 0)$.

$f(x) = -x^2 + 25$:

Для точки $A(0; …)$:

$$y = f(0) = -0^2 + 25 = 25$$

Для точек $B(…; 0)$ и $C(…; 0)$:

$$-x^2 + 25 = 0$$

Получаем:

$$x^2 = 25$$

Следовательно:

$$x = \pm 5$$

Ответ: $A(0; 25); \, B(-5; 0); \, C(5; 0)$.

$f(x) = \frac{1}{2}x^2 — 8$:

Для точки $A(0; …)$:

$$y = f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^2 — 8 = -8$$

Для точек $B(…; 0)$ и $C(…; 0)$:

$$\frac{1}{2}x^2 — 8 = 0 \quad | \cdot 2$$

Получаем:

$$x^2 — 16 = 0$$

Следовательно:

$$x^2 = 16$$

Таким образом:

$$x = \pm 4$$

Ответ: $A(0; -8); \, B(-4; 0); \, C(4; 0)$.