ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 267 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $y=2x^2-4x-1$:

Координаты вершины параболы:
$x=-\frac{-4}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1;$
$y=\frac{4\cdot 2\cdot (-1)-(-4{)}^2}{4\cdot 2}=\frac{-8-16}{8}=\frac{-24}{8}=-3;$

Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -1& 0& 2& 3\\ y& 5& -1& -1& 5\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & -1 & -1 & 5 \\ \hline \end{array}$$

Нули функции:
$2x^2-4x-1=0;$
$D=4^2+4\cdot 2=16+8=24;\text{ тогда: }$
$x=\frac{4\pm \sqrt{24}}{2\cdot 2}=\frac{4\pm 2\sqrt{6}}{4}=1\pm \frac{1}{2}\sqrt{6};$

Наименьшее значение: $y_{min}=-3$;

б) $y=x^2+2x-4$:

Координаты вершины параболы:
$x=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1;$
$y=\frac{4\cdot 1\cdot (-4)-2^2}{4\cdot 1}=\frac{-16-4}{4}=\frac{-20}{4}=-5;$

Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& -4& -3& -2& 0& 1& 2\\ y& 4& -1& -4& -4& -1& 4\end{array}}$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & -1 & -4 & -4 & -1 & 4 \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & -7 & -2 & 1 & 1 & -2 & -7 \\ \hline \end{array}$$

Нули функции:
$x^2+2x-4=0;$
$D=2^2+4\cdot 4=4+16=20;\text{ тогда: }$
$x=\frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}=-1\pm \sqrt{5};$

Наименьшее значение: $y_{min}=-5$;

в) $y=-x^2+6x-7$:

Координаты вершины параболы:
$x=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=\frac{6}{2}=3;$
$y=\frac{4\cdot (-1)\cdot (-7)-6^2}{4\cdot (-1)}=\frac{28-36}{-4}=\frac{-8}{-4}=2;$

Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& 0& 1& 2& 4& 5& 6\\ y& -7& -2& 1& 1& -2& -7\end{array}}$$

Нули функции:
$-x^2+6x-7=0;$
$D=6^2-4\cdot 7=36-28=8;\text{ тогда: }$
$x=\frac{-6\pm \sqrt{8}}{-2}=\frac{-6\pm 2\sqrt{2}}{-2}=3\pm \sqrt{2};$

Наибольшее значение: $y_{max}=2$;

г) $y=-2x^2+4x-1$:

Координаты вершины параболы:
$x=-\frac{4}{2\cdot (-2)}=\frac{4}{4}=1;$
$y=\frac{4\cdot (-2)\cdot (-1)-4^2}{4\cdot (-2)}=\frac{8-16}{-8}=\frac{-8}{-8}=1;$

Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -1& 0& 2& 3\\ y& -7& -1& -1& -7\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & -7 & -1 & -1 & -7 \\ \hline \end{array}$$

а) $y=2x^2-4x-1$:

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины квадратичной функции $y=a{x}^2+bx+c$ используется формула:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения коэффициентов $a=2$ и $b=-4$:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{-4}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$$

Теперь находим ординату вершины, подставив найденное значение $x=1$ в исходное уравнение:

$$y_{\text{vertex}}=2(1{)}^2-4(1)-1=2-4-1=-3$$

Таким образом, координаты вершины параболы $(-1,-3)$.

Координаты некоторых точек:

Для вычисления значений функции в разных точках, подставляем соответствующие значения $x$:

• Для $x=-1$:$$y=2(-1{)}^2-4(-1)-1=2\cdot 1+4-1=5$$
• Для $x=0$:$$y=2(0{)}^2-4(0)-1=-1$$
• Для $x=2$:$$y=2(2{)}^2-4(2)-1=2\cdot 4-8-1=-1$$
• Для $x=3$:$$y=2(3{)}^2-4(3)-1=2\cdot 9-12-1=5$$

Таблица значений функции:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -1& 0& 2& 3\\ y& 5& -1& -1& 5\end{array}}$$

Нули функции:

Чтобы найти нули функции, приравниваем $y=0$:

$$2x^2-4x-1=0$$

Для нахождения корней, вычисляем дискриминант $D$:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=16+8=24$$

Таким образом, корни уравнения находятся по формуле:

$$x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{24}}{2\cdot 2}=\frac{4\pm 2\sqrt{6}}{4}=1\pm \frac{1}{2}\sqrt{6}$$

Следовательно, корни функции:

$$x_1=1+\frac{1}{2}\sqrt{6},x_2=1-\frac{1}{2}\sqrt{6}$$

Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции будет на вершине параболы, которое мы вычислили ранее:

$$y_{\text{min}}=-3$$

б) $y=x^2+2x-4$:

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a=1$ и $b=2$:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1$$

Теперь находим ординату вершины, подставив $x=-1$ в исходное уравнение:

$$y_{\text{vertex}}=(-1{)}^2+2(-1)-4=1-2-4=-5$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-1,-5)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем различные значения $x$:

• Для $x=-4$:$$y=(-4{)}^2+2(-4)-4=16-8-4=4$$
• Для $x=-3$:$$y=(-3{)}^2+2(-3)-4=9-6-4=-1$$
• Для $x=-2$:$$y=(-2{)}^2+2(-2)-4=4-4-4=-4$$
• Для $x=0$:$$y=(0{)}^2+2(0)-4=-4$$
• Для $x=1$:$$y=(1{)}^2+2(1)-4=1+2-4=-1$$
• Для $x=2$:$$y=(2{)}^2+2(2)-4=4+4-4=4$$

Таблица значений функции:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& -4& -3& -2& 0& 1& 2\\ y& 4& -1& -4& -4& -1& 4\end{array}}$$

Нули функции:

Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю:

$$x^2+2x-4=0$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-4)=4+16=20$$

Тогда корни уравнения:

$$x=\frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}=-1\pm \sqrt{5}$$

Корни функции:

$$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$$

Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции равно значению в вершине параболы:

$$y_{\text{min}}=-5$$

в) $y=-x^2+6x-7$:

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a=-1$ и $b=6$:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=\frac{6}{2}=3$$

Находим ординату вершины, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

$$y_{\text{vertex}}=-(3{)}^2+6(3)-7=-9+18-7=2$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(3,2)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем разные значения $x$:

• Для $x=0$:$$y=-(0{)}^2+6(0)-7=-7$$
• Для $x=1$:$$y=-(1{)}^2+6(1)-7=-1+6-7=-2$$
• Для $x=2$:$$y=-(2{)}^2+6(2)-7=-4+12-7=1$$
• Для $x=4$:$$y=-(4{)}^2+6(4)-7=-16+24-7=1$$
• Для $x=5$:$$y=-(5{)}^2+6(5)-7=-25+30-7=-2$$
• Для $x=6$:$$y=-(6{)}^2+6(6)-7=-36+36-7=-7$$

Таблица значений функции:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& 0& 1& 2& 4& 5& 6\\ y& -7& -2& 1& 1& -2& -7\end{array}}$$

Нули функции:

Для нахождения нулей приравниваем $y=0$:

$$-x^2+6x-7=0$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D=6^2-4\cdot (-7)=36+28=64$$

Тогда корни:

$$x=\frac{-6\pm \sqrt{64}}{-2}=\frac{-6\pm 8}{-2}$$

Корни:

$$x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$$

Наибольшее значение:

Наибольшее значение функции равно значению в вершине параболы:

$$y_{\text{max}}=2$$

г) $y=-2x^2+4x-1$:

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a=-2$ и $b=4$:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{4}{2\cdot (-2)}=\frac{4}{4}=1$$

Находим ординату вершины, подставив $x=1$ в исходное уравнение:

$$y_{\text{vertex}}=-2(1{)}^2+4(1)-1=-2+4-1=1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1,1)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем различные значения $x$:

• Для $x=-1$:$$y=-2(-1{)}^2+4(-1)-1=-2\cdot 1-4-1=-7$$
• Для $x=0$:$$y=-2(0{)}^2+4(0)-1=-1$$
• Для $x=2$:$$y=-2(2{)}^2+4(2)-1=-2\cdot 4+8-1=-8+8-1=-1$$
• Для $x=3$:$$y=-2(3{)}^2+4(3)-1=-2\cdot 9+12-1=-18+12-1=-7$$

Таблица значений функции:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -1& 0& 2& 3\\ y& -7& -1& -1& -7\end{array}}$$

Нули функции:

Для нахождения нулей приравниваем функцию к нулю:

$$-2x^2+4x-1=0$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D=4^2-4\cdot (-2)\cdot (-1)=16-8=8$$

Тогда корни уравнения:

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{-4}=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{-4}=1\mp \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, корни:

$$x_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Наибольшее значение:

Наибольшее значение функции будет на вершине параболы, которое мы вычислили ранее:

$$y_{\text{max}}=1$$