ГДЗ Дорофеев 9 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

Алгебра

9 класс учебник Дорофеев

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 267 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Постройте график функции:

$а) y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ ;

$б) y = x^{2} + 2 x - 4$ ;

$в) y = - x^{2} + 6 x - 7$ ;

$г) y = - 2 x^{2} + 4 x - 1$ .

В каждом случае укажите нули функции, наименьшее (или наибольшее) значение функции.

Краткий ответ:

а) $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ :

Координаты вершины параболы:
$x = - \frac{- 4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$
$y = \frac{4 \cdot 2 \cdot (- 1) - (- 4)^{2}}{4 \cdot 2} = \frac{- 8 - 16}{8} = \frac{- 24}{8} = - 3;$

Координаты некоторых точек:

$\begin{array}{ccccc} x & - 1 & 0 & 2 & 3 \\ y & 5 & - 1 & - 1 & 5 \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & -1 & -1 & 5 \\ \hline \end{array}$

Нули функции:
$2 x^{2} - 4 x - 1 = 0;$
$D = 4^{2} + 4 \cdot 2 = 16 + 8 = 24; тогда:$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{1}{2} \sqrt{6};$

Наименьшее значение: $y_{m i n} = - 3$ ;

б) $y = x^{2} + 2 x - 4$ :

Координаты вершины параболы:
$x = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1;$
$y = \frac{4 \cdot 1 \cdot (- 4) - 2^{2}}{4 \cdot 1} = \frac{- 16 - 4}{4} = \frac{- 20}{4} = - 5;$

Координаты некоторых точек:

$\begin{array}{ccccccc} x & - 4 & - 3 & - 2 & 0 & 1 & 2 \\ y & 4 & - 1 & - 4 & - 4 & - 1 & 4 \end{array}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & -1 & -4 & -4 & -1 & 4 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & -7 & -2 & 1 & 1 & -2 & -7 \\ \hline \end{array}$

Нули функции:
$x^{2} + 2 x - 4 = 0;$
$D = 2^{2} + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = 20; тогда:$
$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2} = - 1 \pm \sqrt{5};$

Наименьшее значение: $y_{m i n} = - 5$ ;

в) $y = - x^{2} + 6 x - 7$ :

Координаты вершины параболы:
$x = - \frac{6}{2 \cdot (- 1)} = \frac{6}{2} = 3;$
$y = \frac{4 \cdot (- 1) \cdot (- 7) - 6^{2}}{4 \cdot (- 1)} = \frac{28 - 36}{- 4} = \frac{- 8}{- 4} = 2;$

Координаты некоторых точек:

$\begin{array}{ccccccc} x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ y & - 7 & - 2 & 1 & 1 & - 2 & - 7 \end{array}$

Нули функции:
$- x^{2} + 6 x - 7 = 0;$
$D = 6^{2} - 4 \cdot 7 = 36 - 28 = 8; тогда:$
$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{8}}{- 2} = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2} = 3 \pm \sqrt{2};$

Наибольшее значение: $y_{m a x} = 2$ ;

г) $y = - 2 x^{2} + 4 x - 1$ :

Координаты вершины параболы:
$x = - \frac{4}{2 \cdot (- 2)} = \frac{4}{4} = 1;$
$y = \frac{4 \cdot (- 2) \cdot (- 1) - 4^{2}}{4 \cdot (- 2)} = \frac{8 - 16}{- 8} = \frac{- 8}{- 8} = 1;$

Координаты некоторых точек:

$\begin{array}{ccccc} x & - 1 & 0 & 2 & 3 \\ y & - 7 & - 1 & - 1 & - 7 \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & -7 & -1 & -1 & -7 \\ \hline \end{array}$

Подробный ответ:

а) $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ :

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$ используется формула:

$x_{vertex} = - \frac{b}{2 a}$

Подставляем значения коэффициентов $a = 2$ и $b = - 4$ :

$x_{vertex} = - \frac{- 4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь находим ординату вершины, подставив найденное значение $x = 1$ в исходное уравнение:

$y_{vertex} = 2 (1)^{2} - 4 (1) - 1 = 2 - 4 - 1 = - 3$

Таким образом, координаты вершины параболы $(- 1, - 3)$ .

Координаты некоторых точек:

Для вычисления значений функции в разных точках, подставляем соответствующие значения $x$ :

Для $x = - 1$ : $y = 2 (- 1)^{2} - 4 (- 1) - 1 = 2 \cdot 1 + 4 - 1 = 5$
Для $x = 0$ : $y = 2 (0)^{2} - 4 (0) - 1 = - 1$
Для $x = 2$ : $y = 2 (2)^{2} - 4 (2) - 1 = 2 \cdot 4 - 8 - 1 = - 1$
Для $x = 3$ : $y = 2 (3)^{2} - 4 (3) - 1 = 2 \cdot 9 - 12 - 1 = 5$

Таблица значений функции:

$\begin{array}{ccccc} x & - 1 & 0 & 2 & 3 \\ y & 5 & - 1 & - 1 & 5 \end{array}$

Нули функции:

Чтобы найти нули функции, приравниваем $y = 0$ :

$2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Для нахождения корней, вычисляем дискриминант $D$ :

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 16 + 8 = 24$

Таким образом, корни уравнения находятся по формуле:

$x = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{1}{2} \sqrt{6}$

Следовательно, корни функции:

$x_{1} = 1 + \frac{1}{2} \sqrt{6}, x_{2} = 1 - \frac{1}{2} \sqrt{6}$

Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции будет на вершине параболы, которое мы вычислили ранее:

$y_{min} = - 3$

б) $y = x^{2} + 2 x - 4$ :

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу:

$x_{vertex} = - \frac{b}{2 a}$

Подставляем значения $a = 1$ и $b = 2$ :

$x_{vertex} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$

Теперь находим ординату вершины, подставив $x = - 1$ в исходное уравнение:

$y_{vertex} = (- 1)^{2} + 2 (- 1) - 4 = 1 - 2 - 4 = - 5$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(- 1, - 5)$ .

Координаты некоторых точек:

Подставляем различные значения $x$ :

Для $x = - 4$ : $y = (- 4)^{2} + 2 (- 4) - 4 = 16 - 8 - 4 = 4$
Для $x = - 3$ : $y = (- 3)^{2} + 2 (- 3) - 4 = 9 - 6 - 4 = - 1$
Для $x = - 2$ : $y = (- 2)^{2} + 2 (- 2) - 4 = 4 - 4 - 4 = - 4$
Для $x = 0$ : $y = (0)^{2} + 2 (0) - 4 = - 4$
Для $x = 1$ : $y = (1)^{2} + 2 (1) - 4 = 1 + 2 - 4 = - 1$
Для $x = 2$ : $y = (2)^{2} + 2 (2) - 4 = 4 + 4 - 4 = 4$

Таблица значений функции:

$\begin{array}{ccccccc} x & - 4 & - 3 & - 2 & 0 & 1 & 2 \\ y & 4 & - 1 & - 4 & - 4 & - 1 & 4 \end{array}$

Нули функции:

Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю:

$x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Вычисляем дискриминант $D$ :

$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 4 + 16 = 20$

Тогда корни уравнения:

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2} = - 1 \pm \sqrt{5}$

Корни функции:

$x_{1} = - 1 + \sqrt{5}, x_{2} = - 1 - \sqrt{5}$

Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции равно значению в вершине параболы:

$y_{min} = - 5$

в) $y = - x^{2} + 6 x - 7$ :

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу:

$x_{vertex} = - \frac{b}{2 a}$

Подставляем значения $a = - 1$ и $b = 6$ :

$x_{vertex} = - \frac{6}{2 \cdot (- 1)} = \frac{6}{2} = 3$

Находим ординату вершины, подставив $x = 3$ в исходное уравнение:

$y_{vertex} = - (3)^{2} + 6 (3) - 7 = - 9 + 18 - 7 = 2$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(3, 2)$ .

Координаты некоторых точек:

Подставляем разные значения $x$ :

Для $x = 0$ : $y = - (0)^{2} + 6 (0) - 7 = - 7$
Для $x = 1$ : $y = - (1)^{2} + 6 (1) - 7 = - 1 + 6 - 7 = - 2$
Для $x = 2$ : $y = - (2)^{2} + 6 (2) - 7 = - 4 + 12 - 7 = 1$
Для $x = 4$ : $y = - (4)^{2} + 6 (4) - 7 = - 16 + 24 - 7 = 1$
Для $x = 5$ : $y = - (5)^{2} + 6 (5) - 7 = - 25 + 30 - 7 = - 2$
Для $x = 6$ : $y = - (6)^{2} + 6 (6) - 7 = - 36 + 36 - 7 = - 7$

Таблица значений функции:

$\begin{array}{ccccccc} x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ y & - 7 & - 2 & 1 & 1 & - 2 & - 7 \end{array}$

Нули функции:

Для нахождения нулей приравниваем $y = 0$ :

$- x^{2} + 6 x - 7 = 0$

Вычисляем дискриминант $D$ :

$D = 6^{2} - 4 \cdot (- 7) = 36 + 28 = 64$

Тогда корни:

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2} = \frac{- 6 \pm 8}{- 2}$

Корни:

$x_{1} = 3 + \sqrt{2}, x_{2} = 3 - \sqrt{2}$

Наибольшее значение:

Наибольшее значение функции равно значению в вершине параболы:

$y_{max} = 2$

г) $y = - 2 x^{2} + 4 x - 1$ :

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу:

$x_{vertex} = - \frac{b}{2 a}$

Подставляем значения $a = - 2$ и $b = 4$ :

$x_{vertex} = - \frac{4}{2 \cdot (- 2)} = \frac{4}{4} = 1$

Находим ординату вершины, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:

$y_{vertex} = - 2 (1)^{2} + 4 (1) - 1 = - 2 + 4 - 1 = 1$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1, 1)$ .

Координаты некоторых точек:

Подставляем различные значения $x$ :

Для $x = - 1$ : $y = - 2 (- 1)^{2} + 4 (- 1) - 1 = - 2 \cdot 1 - 4 - 1 = - 7$
Для $x = 0$ : $y = - 2 (0)^{2} + 4 (0) - 1 = - 1$
Для $x = 2$ : $y = - 2 (2)^{2} + 4 (2) - 1 = - 2 \cdot 4 + 8 - 1 = - 8 + 8 - 1 = - 1$
Для $x = 3$ : $y = - 2 (3)^{2} + 4 (3) - 1 = - 2 \cdot 9 + 12 - 1 = - 18 + 12 - 1 = - 7$

Таблица значений функции:

$\begin{array}{ccccc} x & - 1 & 0 & 2 & 3 \\ y & - 7 & - 1 & - 1 & - 7 \end{array}$

Нули функции:

Для нахождения нулей приравниваем функцию к нулю:

$- 2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Вычисляем дискриминант $D$ :

$D = 4^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1) = 16 - 8 = 8$

Тогда корни уравнения:

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{- 4} = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{- 4} = 1 \mp \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, корни:

$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Наибольшее значение:

Наибольшее значение функции будет на вершине параболы, которое мы вычислили ранее:

$y_{max} = 1$

Оцени решение