ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 266 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=x^2-4x+3$;

б) $y=-x^2+4x-3$;

в) $y=2x^2+4x-6$;

г) $y=-2x^2+4x+6$;

д) $y=0,5x^2-x-4$;

е) $y=-0,5x^2-x+4$;

ж) $y=-x^2+2x$;

з) $y=\frac{1}{4}{x}^2-x$.

В каждом случае укажите:

1) Наибольшее или наименьшее значение функции;

2) Промежутки возрастания и убывания функции;

3) Нули функции;

4) Значения $x$, при которых $y>0$ и $y<0$.

а) $y=x^2-4x+3$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot 1\cdot 3-(-4{)}^2}{4\cdot 1}=\frac{12-16}{4}=\frac{-4}{4}=-1$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наименьшее значение: $y_{\text{min}}=-1$;

2) Функция возрастает при: $x\in (2;+\mathrm{\infty }]$;
Функция убывает при: $x\in (-\mathrm{\infty };2]$;

3) Нули функции: $x=1$ и $x=3$;

4) Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$;

$y<0$ при $x\in (1;3)$.

б) $y=-x^2+4x-3$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{4}{2\cdot (-1)}=\frac{4}{2}=2$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot (-1)\cdot (-3)-4^2}{4\cdot (-1)}=\frac{12-16}{-4}=\frac{-4}{-4}=1$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наибольшее значение: $y_{\text{max}}=1$;

2) Функция возрастает при: $x\in (-\mathrm{\infty };2]$;
Функция убывает при: $x\in (2;+\mathrm{\infty }]$;

3) Нули функции: $x=1$ и $x=3$;

4) Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (1;3)$;

$y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$.

в) $y=2x^2+4x-6$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{4}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot 2\cdot (-6)-4^2}{4\cdot 2}=\frac{-48-16}{8}=\frac{-64}{8}=-8$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наименьшее значение: $y_{\text{min}}=-8$;

2) Функция возрастает при: $x\in [-1;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает при: $x\in (-\mathrm{\infty };-1]$;

3) Нули функции: $x=-3$ и $x=1$;

4) Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };-3)\cup (1;+\mathrm{\infty })$;

$y<0$ при $x\in (-3;1)$.

г) $y=-2x^2+4x+6$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{4}{2\cdot (-2)}=\frac{4}{4}=1$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot (-2)\cdot 6-4^2}{4\cdot (-2)}=\frac{-48-16}{-8}=\frac{-64}{-8}=8$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наибольшее значение: $y_{\text{max}}=8$;

2) Функция возрастает при: $x\in (-\mathrm{\infty };1]$;
Функция убывает при: $x\in [1;+\mathrm{\infty })$;

3) Нули функции: $x=-1$ и $x=3$;

4) Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-1;3)$;

$y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$.

д) $y=0,5x^2-x-4$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-1}{2\cdot 0,5}=\frac{1}{1}=1$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot 0,5\cdot (-4)-(-1{)}^2}{4\cdot 0,5}=\frac{-8-1}{2}=\frac{-9}{2}=-4.5$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наименьшее значение: $y_{\text{min}}=-4.5$;

2) Функция возрастает при: $x\in [1;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает при: $x\in (-\mathrm{\infty };1]$;

3) Нули функции: $x=-2$ и $x=4$;

4) Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };-2)\cup (4;+\mathrm{\infty })$;

$y<0$ при $x\in (-2;4)$.

е) $y=-0,5x^2-x+4$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-1}{2\cdot (-0.5)}=\frac{1}{-1}=-1$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot (-0.5)\cdot 4-(-1{)}^2}{4\cdot (-0.5)}=\frac{-8-1}{-2}=\frac{-9}{-2}=4.5$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наибольшее значение: $y_{\text{max}}=4.5$;

2) Функция возрастает при: $x\in (-\mathrm{\infty };1]$;
Функция убывает при: $x\in [1;+\mathrm{\infty })$;

3) Нули функции: $x=-4$ и $x=2$;

4) Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-4;2)$;

$y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };-4)\cup (2;+\mathrm{\infty })$.

ж) $y=-x^2+2x$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=\frac{2}{2}=1$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot (-1)\cdot 0-2^2}{4\cdot (-1)}=\frac{0-4}{-4}=\frac{-4}{-4}=1$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наибольшее значение: $y_{\text{max}}=1$;

2) Функция возрастает при: $x\in (-\mathrm{\infty };1]$;
Функция убывает при: $x\in [1;+\mathrm{\infty })$;

3) Нули функции: $x=0$ и $x=2$;

4) Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (0;2)$;

$y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (2;+\mathrm{\infty })$.

з) $y=\frac{1}{4}{x}^2-x$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-1}{2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\cdot 0-(-1{)}^2}{4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{0-1}{1}=-1$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наименьшее значение: $y_{\text{min}}=-1$;

2) Функция возрастает при: $x\in [2;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает при: $x\in (-\mathrm{\infty };2]$;

3) Нули функции: $x=0$ и $x=4$;

4) Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (4;+\mathrm{\infty })$;

$y<0$ при $x\in (0;4)$.

Свойства функции для каждого уравнения:

а) $y=x^2-4x+3$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем стандартную формулу для $x$-координаты вершины:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$$

Теперь подставляем $x=2$ в исходное уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\cdot 1\cdot 3-(-4{)}^2}{4\cdot 1}=\frac{12-16}{4}=\frac{-4}{4}=-1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(2;-1)$.

Координаты некоторых точек:

Для того чтобы найти другие точки на графике функции, подставим значения $x$ в исходное уравнение $y=x^2-4x+3$:

График функции:

График параболы симметричен относительно оси $x=2$, и имеет минимальное значение $y_{\text{min}}=-1$ в точке вершины.

Свойства функции:

Наименьшее значение: $y_{\text{min}}=-1$;

Функция возрастает при: $x\in (2;+\mathrm{\infty }]$;
Функция убывает при: $x\in (-\mathrm{\infty };2]$;

Нули функции: $x=1$ и $x=3$;

Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$;

$y<0$ при $x\in (1;3)$.

б) $y=-x^2+4x-3$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем ту же формулу для $x$-координаты:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot (-1)}=\frac{4}{-2}=-2$$

Теперь подставляем $x=-2$ в исходное уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\cdot (-1)\cdot (-3)-4^2}{4\cdot (-1)}=\frac{12-16}{-4}=\frac{-4}{-4}=1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-2;1)$.

Координаты некоторых точек:

Для нахождения других точек, подставляем значения $x$ в уравнение:

График функции:

График параболы симметричен относительно оси $x=-2$, и имеет наибольшее значение $y_{\text{max}}=1$ в точке вершины.

Свойства функции:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}}=1$;

Функция возрастает при: $x\in (-\mathrm{\infty };-2]$;
Функция убывает при: $x\in [-2;+\mathrm{\infty })$;

Нули функции: $x=1$ и $x=3$;

Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (1;3)$;

$y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$.

в) $y=2x^2+4x-6$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем те же формулы для $x$-координаты:

$$x=-\frac{4}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1$$

Теперь подставляем $x=-1$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y=\frac{4\cdot 2\cdot (-6)-4^2}{4\cdot 2}=\frac{-48-16}{8}=\frac{-64}{8}=-8$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-1;-8)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем значения $x$ в уравнение для нахождения значений $y$:

График функции:

График параболы симметричен относительно оси $x=-1$, и имеет наименьшее значение $y_{\text{min}}=-8$ в точке вершины.

Свойства функции:

Наименьшее значение: $y_{\text{min}}=-8$;

Функция возрастает при: $x\in [-1;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает при: $x\in (-\mathrm{\infty };-1]$;

Нули функции: $x=-3$ и $x=1$;

Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };-3)\cup (1;+\mathrm{\infty })$;

$y<0$ при $x\in (-3;1)$.

г) $y=-2x^2+4x+6$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем те же формулы для $x$-координаты:

$$x=-\frac{4}{2\cdot (-2)}=\frac{4}{4}=1$$

Теперь подставляем $x=1$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y=\frac{4\cdot (-2)\cdot 6-4^2}{4\cdot (-2)}=\frac{-48-16}{-8}=\frac{-64}{-8}=8$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1;8)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем значения $x$ в уравнение для нахождения значений $y$:

График функции:

График параболы симметричен относительно оси $x=1$, и имеет наибольшее значение $y_{\text{max}}=8$ в точке вершины.

Свойства функции:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}}=8$;

Функция возрастает при: $x\in (-\mathrm{\infty };1]$;
Функция убывает при: $x\in [1;+\mathrm{\infty })$;

Нули функции: $x=-1$ и $x=3$;

Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-1;3)$;

$y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$.

д) $y=0,5x^2-x-4$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем формулы для координат:

$$x=-\frac{-1}{2\cdot 0,5}=\frac{1}{1}=1$$

Теперь подставляем $x=1$ в уравнение для нахождения $y$-координаты:

$$y=\frac{4\cdot 0,5\cdot (-4)-(-1{)}^2}{4\cdot 0,5}=\frac{-8-1}{2}=\frac{-9}{2}=-4.5$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1;-4.5)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем значения $x$ в уравнение для нахождения значений $y$:

График функции:

График функции будет симметричным относительно оси $x=1$, направлен вверх и имеет наименьшее значение $y_{\text{min}}=-4.5$.

е) $y=-0,5x^2-x+4$

Координаты вершины параболы:

Вершина параболы для функции вида $y=a{x}^2+bx+c$ находится по формуле:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения из уравнения $a=-0.5$ и $b=-1$:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{-1}{2\cdot (-0.5)}=\frac{1}{-1}=-1$$

Чтобы найти ординату вершины $y_{\text{vertex}}$, подставляем значение $x=-1$ в исходную функцию:

$$y=-0.5(-1{)}^2-(-1)+4=-0.5\cdot 1+1+4=-0.5+1+4=4.5$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-1,4.5)$.

Координаты некоторых точек:

Для вычисления значений функции в нескольких точках, подставляем значения $x$ в уравнение $y=-0.5x^2-x+4$:

Для $x=-6$:

$$y=-0.5(-6{)}^2-(-6)+4=-0.5\cdot 36+6+4=-18+6+4=-8$$

Для $x=-4$:

$$y=-0.5(-4{)}^2-(-4)+4=-0.5\cdot 16+4+4=-8+4+4=0$$

Для $x=-2$:

$$y=-0.5(-2{)}^2-(-2)+4=-0.5\cdot 4+2+4=-2+2+4=4$$

Для $x=0$:

$$y=-0.5(0{)}^2-(0)+4=4$$

Для $x=2$:

$$y=-0.5(2{)}^2-(2)+4=-0.5\cdot 4-2+4=-2-2+4=0$$

Для $x=4$:

$$y=-0.5(4{)}^2-(4)+4=-0.5\cdot 16-4+4=-8-4+4=-8$$

Таблица значений функции:

График функции:

График функции $y=-0.5x^2-x+4$ представляет собой параболу, направленную вниз, с вершиной в точке $(-1,4.5)$. Значения функции для $x$ изменяются симметрично относительно оси $x=-1$.

Свойства функции:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}}=4.5$, которое достигается в точке вершины $x=-1$.

Функция возрастает при: $x\in (-\mathrm{\infty };1]$, поскольку для $x$ в этом интервале значение функции увеличивается.
Функция убывает при: $x\in [1;+\mathrm{\infty })$, так как для $x$ в этом интервале функция начинает уменьшаться.

Нули функции: $x=-4$ и $x=2$, так как эти значения делают $y=0$.

Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-4;2)$, в этом интервале функция принимает положительные значения.

$y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };-4)\cup (2;+\mathrm{\infty })$, в этих интервалах функция принимает отрицательные значения.

ж) $y=-x^2+2x$

Координаты вершины параболы:

Вершина параболы для функции вида $y=a{x}^2+bx+c$ находится по формуле:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a=-1$ и $b=2$:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=\frac{2}{2}=1$$

Чтобы найти ординату вершины $y_{\text{vertex}}$, подставляем значение $x=1$ в исходное уравнение:

$$y=-(1{)}^2+2(1)=-1+2=1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1,1)$.

Координаты некоторых точек:

Для вычисления значений функции в нескольких точках, подставляем значения $x$ в уравнение $y=-x^2+2x$:

Для $x=-2$:

$$y=-(-2{)}^2+2(-2)=-4-4=-8$$

Для $x=-1$:

$$y=-(-1{)}^2+2(-1)=-1-2=-3$$

Для $x=0$:

$$y=-(0{)}^2+2(0)=0$$

Для $x=2$:

$$y=-(2{)}^2+2(2)=-4+4=0$$

Для $x=3$:

$$y=-(3{)}^2+2(3)=-9+6=-3$$

Для $x=4$:

$$y=-(4{)}^2+2(4)=-16+8=-8$$

Таблица значений функции:

График функции:

График функции $y=-x^2+2x$ представляет собой параболу, направленную вниз, с вершиной в точке $(1,1)$.

Свойства функции:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}}=1$, которое достигается в точке вершины $x=1$.

Функция возрастает при: $x\in (-\mathrm{\infty };1]$, так как функция возрастает в этом интервале.
Функция убывает при: $x\in [1;+\mathrm{\infty })$, так как функция убывает в этом интервале.

Нули функции: $x=0$ и $x=2$, поскольку эти значения делают $y=0$.

Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (0;2)$, в этом интервале функция принимает положительные значения.

$y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (2;+\mathrm{\infty })$, в этих интервалах функция принимает отрицательные значения.

з) $y=\frac{1}{4}{x}^2-x$

Координаты вершины параболы:

Вершина параболы для функции вида $y=a{x}^2+bx+c$ находится по формуле:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a=\frac{1}{4}$ и $b=-1$:

$$x_{\text{vertex}}=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$

Чтобы найти ординату вершины $y_{\text{vertex}}$, подставляем значение $x=2$ в исходное уравнение:

$$y=\frac{1}{4}(2{)}^2-2=\frac{1}{4}\cdot 4-2=1-2=-1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(2,-1)$.

Координаты некоторых точек:

Для вычисления значений функции в нескольких точках, подставляем значения $x$ в уравнение $y=\frac{1}{4}{x}^2-x$:

Для $x=-4$:

$$y=\frac{1}{4}(-4{)}^2-(-4)=\frac{1}{4}\cdot 16+4=4+4=8$$

Для $x=-2$:

$$y=\frac{1}{4}(-2{)}^2-(-2)=\frac{1}{4}\cdot 4+2=1+2=3$$

Для $x=0$:

$$y=\frac{1}{4}(0{)}^2-0=0$$

Для $x=4$:

$$y=\frac{1}{4}(4{)}^2-4=\frac{1}{4}\cdot 16-4=4-4=0$$

Для $x=6$:

$$y=\frac{1}{4}(6{)}^2-6=\frac{1}{4}\cdot 36-6=9-6=3$$

Для $x=8$:

$$y=\frac{1}{4}(8{)}^2-8=\frac{1}{4}\cdot 64-8=16-8=8$$

Таблица значений функции:

График функции:

График функции $y=\frac{1}{4}{x}^2-x$ представляет собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке $(2,-1)$.

Свойства функции:

Наименьшее значение: $y_{\text{min}}=-1$, которое достигается в точке вершины $x=2$.

Функция возрастает при: $x\in [2;+\mathrm{\infty })$, так как функция возрастает в этом интервале.
Функция убывает при: $x\in (-\mathrm{\infty };2]$, так как функция убывает в этом интервале.

Нули функции: $x=0$ и $x=4$, так как эти значения делают $y=0$.

Знаки функции:

$y>0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (4;+\mathrm{\infty })$, в этих интервалах функция принимает положительные значения.

$y<0$ при $x\in (0;4)$, в этом интервале функция принимает отрицательные значения.