ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 265 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=2x^2-4x+5$;

б) $y=x^2+4x+6$;

в) $y=-\frac{1}{2}{x}^2-4x-9$;

г) $y=-x^2+6x-10$.

Воспользуйтесь следующим планом:

1) Найдите координаты вершины параболы;

2) Отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;

3) Определите направление ветвей;

4) Вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

5) Проведите параболу.

а) $y=2x^2-4x+5$

1) Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-4}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot 2\cdot 5-(-4{)}^2}{4\cdot 2}=\frac{40-16}{8}=\frac{24}{8}=3$$

2) Уравнение оси симметрии: $x=1$.

3) Направление ветвей: Ветви направлены вверх, так как $a=2>0$.

4) Координаты некоторых точек:

5) График функции:

б) $y=x^2+4x+6$

1) Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot 1\cdot 6-4^2}{4\cdot 1}=\frac{24-16}{4}=\frac{8}{4}=2$$

2) Уравнение оси симметрии: $x=-2$.

3) Направление ветвей: Ветви направлены вверх, так как $a=1>0$.

4) Координаты некоторых точек:

5) График функции:

в) $y=-\frac{1}{2}{x}^2-4x-9$

1) Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-4}{2\cdot (-0.5)}=-\frac{4}{1}=-4$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot (-0.5)\cdot (-9)-(-4{)}^2}{4\cdot (-0.5)}=\frac{18-16}{-2}=\frac{2}{-2}=-1$$

2) Уравнение оси симметрии: $x=-4$.

3) Направление ветвей: Ветви направлены вниз, так как $a=-\frac{1}{2}<0$.

4) Координаты некоторых точек:

5) График функции:

г) $y=-x^2+6x-10$

1) Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=\frac{6}{2}=3$$

$$$$$$y=\frac{4\cdot (-1)\cdot (-10)-6^2}{4\cdot (-1)}=\frac{40-36}{-4}=\frac{4}{-4}=-1$$

2) Уравнение оси симметрии: $x=3$.

3) Направление ветвей: Ветви направлены вниз, так как $a=-1<0$.

4) Координаты некоторых точек:

5) График функции:

а) $y=2x^2-4x+5$

1) Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины, используем формулы:

• $x=-\frac{b}{2a}$,
• $y=\frac{4ac-b^2}{4a}$.

Подставим значения $a=2$, $b=-4$, и $c=5$ в эти формулы:

$$x=-\frac{-4}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$$

Теперь подставим $x=1$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y=\frac{4\cdot 2\cdot 5-(-4{)}^2}{4\cdot 2}=\frac{40-16}{8}=\frac{24}{8}=3$$

Таким образом, координаты вершины: $(1;3)$.

2) Уравнение оси симметрии:

Ось симметрии проходит через $x=1$, так как это значение $x$-координаты вершины. Следовательно, уравнение оси симметрии: $x=1$.

3) Направление ветвей:

Так как коэффициент $a=2>0$, ветви параболы направлены вверх.

4) Координаты некоторых точек:

Теперь найдём несколько точек параболы, подставив различные значения $x$:

Подставим эти значения $x$ в исходное уравнение $y=2x^2-4x+5$, чтобы получить значения $y$.

5) График функции:

График функции будет симметричной относительно оси $x=1$, направленной вверх и имеющей вершину в точке $(1;3)$.

б) $y=x^2+4x+6$

1) Координаты вершины параболы:

Используем те же формулы для нахождения координат вершины:

$$x=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2$$

Теперь подставим $x=-2$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y=\frac{4\cdot 1\cdot 6-4^2}{4\cdot 1}=\frac{24-16}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Таким образом, координаты вершины: $(-2;2)$.

2) Уравнение оси симметрии:

Ось симметрии проходит через $x=-2$, следовательно, уравнение оси симметрии: $x=-2$.

3) Направление ветвей:

Так как коэффициент $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх.

4) Координаты некоторых точек:

Теперь найдём несколько точек параболы:

Подставив эти значения $x$ в уравнение, находим соответствующие значения $y$.

5) График функции:

График функции будет симметричным относительно оси $x=-2$, направленным вверх и имеющим вершину в точке $(-2;2)$.

в) $y=-\frac{1}{2}{x}^2-4x-9$

1) Координаты вершины параболы:

Используем формулы для нахождения координат вершины, подставив $a=-\frac{1}{2}$, $b=-4$, и $c=-9$:

$$x=-\frac{-4}{2\cdot (-0.5)}=-\frac{4}{1}=-4$$

Теперь подставим $x=-4$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y=\frac{4\cdot (-0.5)\cdot (-9)-(-4{)}^2}{4\cdot (-0.5)}=\frac{18-16}{-2}=\frac{2}{-2}=-1$$

Таким образом, координаты вершины: $(-4;-1)$.

2) Уравнение оси симметрии:

Ось симметрии проходит через $x=-4$, следовательно, уравнение оси симметрии: $x=-4$.

3) Направление ветвей:

Так как $a=-\frac{1}{2}<0$, ветви параболы направлены вниз.

4) Координаты некоторых точек:

Теперь найдём несколько точек параболы:

Подставив эти значения $x$ в уравнение, находим соответствующие значения $y$.

5) График функции:

График функции будет симметричным относительно оси $x=-4$, направленным вниз и имеющим вершину в точке $(-4;-1)$.

г) $y=-x^2+6x-10$

1) Координаты вершины параболы:

Используем формулы для нахождения координат вершины, подставив $a=-1$, $b=6$, и $c=-10$:

$$x=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=\frac{6}{2}=3$$

Теперь подставим $x=3$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y=\frac{4\cdot (-1)\cdot (-10)-6^2}{4\cdot (-1)}=\frac{40-36}{-4}=\frac{4}{-4}=-1$$

Таким образом, координаты вершины: $(3;-1)$.

2) Уравнение оси симметрии:

Ось симметрии проходит через $x=3$, следовательно, уравнение оси симметрии: $x=3$.

3) Направление ветвей:

Так как $a=-1<0$, ветви параболы направлены вниз.

4) Координаты некоторых точек:

Теперь найдём несколько точек параболы:

Подставив эти значения $x$ в уравнение, находим соответствующие значения $y$.

5) График функции:

График функции будет симметричным относительно оси $x=3$,

направленным вниз и имеющим вершину в точке $(3;-1)$.