ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 263 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите координаты вершины параболы:

а) $y = x^2 — 4x + 2$;

б) $y = x^2 + 18x — 6$;

в) $y = 2x^2 — 6x + 2$;

г) $y = -3x^2 + 6x + 5$.

У квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ вершина параболы находится в точке $\left( -\frac{b}{2a}; \frac{4ac — b^2}{4a} \right)$.

а) $y = x^2 — 4x + 2$:

$$x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2;$$ $$y = \frac{4 \cdot 1 \cdot 2 — (-4)^2}{4 \cdot 1} = \frac{8 — 16}{4} = \frac{-8}{4} = -2;$$

Ответ: $(2; -2)$.

б) $y = x^2 + 18x — 6$:

$$x = -\frac{18}{2 \cdot 1} = -\frac{18}{2} = -9;$$ $$y = \frac{4 \cdot 1 \cdot (-6) — 18^2}{4 \cdot 1} = \frac{-24 — 324}{4} = \frac{-348}{4} = -87;$$

Ответ: $(-9; -87)$.

в) $y = 2x^2 — 6x + 2$:

$$x = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};$$ $$y = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2 — (-6)^2}{4 \cdot 2} = \frac{16 — 36}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2};$$

Ответ: $\left( \frac{3}{2}; -\frac{5}{2} \right)$.

г) $y = -3x^2 + 6x + 5$:

$$x = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = \frac{6}{6} = 1;$$ $$y = \frac{4 \cdot (-3) \cdot 5 — 6^2}{4 \cdot (-3)} = \frac{-60 — 36}{-12} = \frac{-96}{-12} = 8;$$

Ответ: $(1; 8)$.

У квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ вершина параболы находится в точке $\left( -\frac{b}{2a}; \frac{4ac — b^2}{4a} \right)$.

а) $y = x^2 — 4x + 2$:

Для вычисления координаты вершины параболы, подставляем значения коэффициентов $a = 1$, $b = -4$, и $c = 2$ в формулы для координат вершины:

Для $x$-координаты вершины используем формулу:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Теперь, подставим это значение $x = 2$ в выражение для $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 2 — (-4)^2}{4 \cdot 1} = \frac{8 — 16}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Ответ: $(2; -2)$.

б) $y = x^2 + 18x — 6$:

Подставляем $a = 1$, $b = 18$, и $c = -6$ в формулы для координат вершины:

Для $x$-координаты вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2 \cdot 1} = -\frac{18}{2} = -9$$

Теперь, подставляем это значение $x = -9$ в выражение для $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 1 \cdot (-6) — 18^2}{4 \cdot 1} = \frac{-24 — 324}{4} = \frac{-348}{4} = -87$$

Ответ: $(-9; -87)$.

в) $y = 2x^2 — 6x + 2$:

Подставляем $a = 2$, $b = -6$, и $c = 2$ в формулы для координат вершины:

Для $x$-координаты вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Теперь, подставляем это значение $x = \frac{3}{2}$ в выражение для $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2 — (-6)^2}{4 \cdot 2} = \frac{16 — 36}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$$

Ответ: $\left( \frac{3}{2}; -\frac{5}{2} \right)$.

г) $y = -3x^2 + 6x + 5$:

Подставляем $a = -3$, $b = 6$, и $c = 5$ в формулы для координат вершины:

Для $x$-координаты вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = \frac{6}{6} = 1$$

Теперь, подставляем это значение $x = 1$ в выражение для $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot (-3) \cdot 5 — 6^2}{4 \cdot (-3)} = \frac{-60 — 36}{-12} = \frac{-96}{-12} = 8$$

Ответ: $(1; 8)$.