ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 258 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:
а) $y=-x^2-2x+1$;
б) $y=2x^2-4x+6$;
в) $y=x^2-x+2$;
г) $y=2x^2+8x$.

а) $y=-x^2-2x+1$:

$$y=-x^2-2x-1+2$$

$$$$$$y=-(x^2+2x+1)+2$$

$$$$$$y=-(x+1{)}^2+2$$

Вершина параболы: $(-1;2)$;
Уравнение оси симметрии: $x=-1$;
Координаты некоторых точек:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -7 & -2 & 1 & 1 & -2 & -7 \\ \hline \end{array}$

б) $y=2x^2-4x+6$:

$$y=2x^2-4x+2+4$$

$$$$$$y=2(x^2-2x+1)+4$$

$$$$$$y=2(x-1{)}^2+4$$

Вершина параболы: $(1;4)$;
Уравнение оси симметрии: $x=1$;
Координаты некоторых точек:

в) $y=x^2-x+2$:

$$y=x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$$

$$$$$$y={(x-\frac{1}{2})}^2+\frac{7}{4}$$

Вершина параболы: $(\frac{1}{2};\frac{7}{4})$;
Уравнение оси симметрии: $x=\frac{1}{2}$;
Координаты некоторых точек:

г) $y=2x^2+8x$:

$$y=2x^2+8x+8-8$$

$$$$$$y=2(x^2+4x+4)-8$$

$$$$$$y=2(x+2{)}^2-8$$

Вершина параболы: $(-2;-8)$;
Уравнение оси симметрии: $x=-2$;
Координаты некоторых точек:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -1 & 0 \\ \hline y & 0 & -6 & -6 & 0 \\ \hline \end{array}$

а) $y=-x^2-2x+1$:
Начнем с того, что парабола $y=-x^2-2x+1$ является параболой с коэффициентом $a=-1$ и сдвигами по осям $x$ и $y$. Мы можем преобразовать её в форму $y=-(x+p{)}^2+q$, чтобы легко определить вершину и уравнение оси симметрии. Для этого нужно сначала привести её к полному квадрату.

Разделим исходное уравнение на два слагаемых:

$$y=-x^2-2x+1$$

Для того чтобы привести квадратичное выражение $-x^2-2x$ к полному квадрату, нужно дополнить его до полного квадрата. Для этого из коэффициента при $x$, который равен $-2$, возьмем половину и возведем её в квадрат:

$${\left(\frac{-2}{2}\right)}^2=1$$

Теперь добавим и вычтем 1 в уравнении:

$$y=-(x^2+2x+1)+1-1$$

Так как выражение $x^2+2x+1$ можно записать как $(x+1{)}^2$, уравнение становится:

$$y=-(x+1{)}^2+2$$

Это уравнение параболы в форме $y=a(x+p{)}^2+q$, где вершина параболы находится в точке $(-1,2)$, а ось симметрии проходит через $x=-1$.

Вершина параболы: $(-1;2)$
Уравнение оси симметрии: $x=-1$
Координаты некоторых точек:

$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& -4& -3& -2& 0& 1& 2\\ y& -7& -2& 1& 1& -2& -7\end{array}}$

б) $y=2x^2-4x+6$:

Парабола $y=2x^2-4x+6$ также может быть представлена в виде $y=a(x+p{)}^2+q$. Начнем с преобразования исходного уравнения в полное квадратное выражение.

Для того чтобы привести к полному квадрату, сначала вынесем коэффициент 2 из первых двух слагаемых:

$$y=2(x^2-2x)+6$$

Теперь добавим и вычтем $1$ (половина коэффициента при $x$ в квадрате):

$$y=2(x^2-2x+1)+6-2$$

Заменим $x^2-2x+1$ на $(x-1{)}^2$:

$$y=2(x-1{)}^2+4$$

Это уравнение параболы в форме $y=2(x-1{)}^2+4$, где вершина параболы находится в точке $(1,4)$, а ось симметрии проходит через $x=1$.

Вершина параболы: $(1;4)$
Уравнение оси симметрии: $x=1$
Координаты некоторых точек:

в) $y=x^2-x+2$:

Для параболы $y=x^2-x+2$ мы используем тот же метод. Сначала приводим выражение $x^2-x$ к полному квадрату. Половина коэффициента при $x$ равна $-\frac{1}{2}$, и его квадрат равен $\frac{1}{4}$. Добавляем и вычитаем $\frac{1}{4}$ в уравнении:

$$y=x^2-x+\frac{1}{4}+2-\frac{1}{4}$$

Заменим $x^2-x+\frac{1}{4}$ на ${(x-\frac{1}{2})}^2$:

$$y={(x-\frac{1}{2})}^2+\frac{7}{4}$$

Это уравнение параболы в форме $y=a(x+p{)}^2+q$, где вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2},\frac{7}{4})$, а ось симметрии проходит через $x=\frac{1}{2}$.

Вершина параболы: $(\frac{1}{2};\frac{7}{4})$
Уравнение оси симметрии: $x=\frac{1}{2}$
Координаты некоторых точек:

г) $y=2x^2+8x$:

Для параболы $y=2x^2+8x$, сначала вынесем коэффициент 2:

$$y=2(x^2+4x)$$

Теперь добавим и вычтем $4$ (половина коэффициента при $x$ равна $2$, и его квадрат равен $4$):

$$y=2(x^2+4x+4-4)$$

Заменим $x^2+4x+4$ на $(x+2{)}^2$:

$$y=2(x+2{)}^2-8$$

Это уравнение параболы в форме $y=a(x+p{)}^2+q$, где вершина параболы находится в точке $(-2,-8)$, а ось симметрии проходит через $x=-2$.

Вершина параболы: $(-2;-8)$
Уравнение оси симметрии: $x=-2$
Координаты некоторых точек:

$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -4& -3& -1& 0\\ y& 0& -6& -6& 0\end{array}}$