ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 250 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=(x+3{)}^2-4$;

б) $y=-2(x-1{)}^2+3$;

в) $y=-(x+1{)}^2-1$;

г) $y=\frac{1}{2}(x-4{)}^2+1$.

a) $y=(x+3{)}^2-4$:

1) Построим параболу $y=x^2$:

2) Перенесем ее на 3 единицы влево;

3) Перенесем, полученный график на 4 единицы вниз;

Функция возрастает на участке $x\in [-3;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает на участке $x\in (-\mathrm{\infty };-3]$;
Наименьшее значение: $y_{\min }=-4$.

б) $y=-2(x-1{)}^2+3$:

1) Построим параболу $y=-2x^2$:

2) Перенесем ее на 1 единицу вправо;

3) Перенесем, полученный график на 3 единицы вверх;

Функция возрастает на участке $x\in (-\mathrm{\infty };1]$;
Функция убывает на участке $x\in [1;+\mathrm{\infty })$;
Наибольшее значение: $y_{\max }=3$.

в) $y=-(x+1{)}^2-1$:

1) Построим параболу $y=-x^2$:

2) Перенесем ее на 1 единицу влево;

3) Перенесем, полученный график на 1 единицу вниз;

Функция возрастает на участке $x\in (-\mathrm{\infty };-1]$;
Функция убывает на участке $x\in [-1;+\mathrm{\infty })$;
Наибольшее значение: $y_{\max }=-1$.

г) ${\displaystyle y=\frac{1}{2}(x-4{)}^2+1}$:

1) Построим параболу ${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2}$:

2) Перенесем ее на 4 единицы вправо;

3) Перенесем, полученный график на 1 единицу вверх;

Функция возрастает на участке $x\in [4;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает на участке $x\in (-\mathrm{\infty };4]$;
Наименьшее значение: $y_{\min }=1$.

a) $y=(x+3{)}^2-4$:

1) Построим параболу $y=x^2$:

2) Переносим график на 3 единицы влево. В этом случае, для параболы $y=x^2$ сдвиг по оси $x$ происходит за счет добавления $+3$ внутри скобок, что изменяет её положение. Вместо точки $(0,0)$ вершина теперь будет находиться в точке $(-3,0)$. Парабола сохраняет форму, но перемещается на 3 единицы влево.

3) Переносим полученный график на 4 единицы вниз. Сдвиг на 4 единицы вниз происходит из-за добавления $-4$ к уравнению, что переносит вершину параболы в точку $(-3,-4)$. Вершина теперь расположена ниже оси $x$.

Функция возрастает на участке $x\in [-3;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает на участке $x\in (-\mathrm{\infty };-3]$;
Наименьшее значение: $y_{\min }=-4$.

б) $y=-2(x-1{)}^2+3$:

1) Построим параболу $y=-2x^2$:

2) Переносим график на 1 единицу вправо. В данном случае, добавление $-1$ внутри скобок сдвигает график на 1 единицу вправо, меняя положение вершины параболы с $(0,0)$ на $(1,0)$.

3) Переносим полученный график на 3 единицы вверх. Добавление $+3$ в уравнении сдвигает вершину параболы вверх, в точку $(1,3)$.

Функция возрастает на участке $x\in (-\mathrm{\infty };1]$;
Функция убывает на участке $x\in [1;+\mathrm{\infty })$;
Наибольшее значение: $y_{\max }=3$.

в) $y=-(x+1{)}^2-1$:

1) Построим параболу $y=-x^2$:

2) Переносим график на 1 единицу влево. В данном случае, $x+1$ внутри скобок сдвигает график на 1 единицу влево. Это приводит к перемещению вершины параболы с точки $(0,0)$ на $(-1,0)$.

3) Переносим полученный график на 1 единицу вниз. Добавление $-1$ в уравнении сдвигает вершину параболы вниз, перемещая её в точку $(-1,-1)$.

Функция возрастает на участке $x\in (-\mathrm{\infty };-1]$;
Функция убывает на участке $x\in [-1;+\mathrm{\infty })$;
Наибольшее значение: $y_{\max }=-1$.

г) ${\displaystyle y=\frac{1}{2}(x-4{)}^2+1}$:

1) Построим параболу ${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2}$:

2) Переносим график на 4 единицы вправо. Парабола сдвигается вправо на 4 единицы, так как у нас выражение $(x-4)$, что означает сдвиг на 4 единицы в сторону положительного направления оси $x$, перемещая вершину в точку $(4,0)$.

3) Переносим полученный график на 1 единицу вверх. Добавление $+1$ сдвигает вершину параболы на 1 единицу вверх, так что вершина теперь находится в точке $(4,1)$.

Функция возрастает на участке $x\in [4;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает на участке $x\in (-\mathrm{\infty };4]$;
Наименьшее значение: $y_{\min }=1$.