ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Если при выполнении какой-нибудь арифметической операции с любыми двумя числами из
некоторого множества получается число из этого же множества, то говорят, что данное
множество чисел замкнуто относительно этой операции. Например, множество натуральных
чисел N замкнуто относительно сложения и не замкнуто относительно вычитания.
Заполните таблицу, используя знак «+», если множество замкнуто относительно указанной
операции, и знак «-», если оно не замкнуто:
Почему говорят, что арифметика целых чисел «богаче», чем арифметика натуральных чисел?
арифметика рациональных чисел «богаче», чем арифметика целых чисел?

1)Множество целых чисел замкнуто относительно трех арифметических операций, а множество натуральных чисел — относительно двух операций, поэтому говорят, что арифметика целых чисел богаче, чем арифметика натуральных чисел;

2)Множество рациональных чисел замкнуто относительно четырех арифметических операций, а множество целых чисел — относительно трех операций, поэтому говорят, что арифметика рациональных чисел богаче, чем арифметика целых чисел.

1)Рассмотрим множество натуральных чисел $N$. Натуральные числа включают все положительные целые числа, то есть $1,2,3,4,5,\dots$. Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения, что означает, что результат сложения и умножения любых двух натуральных чисел также является натуральным числом. Однако, множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания и деления, поскольку результат вычитания или деления двух натуральных чисел может не быть натуральным числом. Например, $5-7=-2$, что не является натуральным числом. Таким образом, арифметика натуральных чисел ограничена только операциями сложения и умножения.

Теперь рассмотрим множество целых чисел $Z$, которое включает как положительные, так и отрицательные целые числа, а также ноль, то есть $\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$. Множество целых чисел замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, что означает, что результат этих операций с целыми числами всегда остается целым числом. Например, $3+(-5)=-2$, $7-9=-2$, $4\times (-2)=-8$. Однако, множество целых чисел не замкнуто относительно деления, так как результат деления двух целых чисел может быть нецелым. Например, $5÷2=2.5$, что не является целым числом. Поэтому говорят, что арифметика целых чисел богаче, чем арифметика натуральных чисел, так как она позволяет больше операций: вычитание и умножение наряду с сложением, в отличие от натуральных чисел.

2)Теперь рассмотрим множество рациональных чисел $Q$. Рациональные числа включают все числа, которые могут быть записаны в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — целые числа, и $b\mathrm{\ne }0$. Например, $\frac{1}{2},\frac{-3}{4},\frac{7}{1},\dots$. Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления. Это означает, что результат этих операций с рациональными числами всегда остается рациональным числом. Например, $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$, $\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{-1}{4}$, $\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$, $\frac{1}{2}÷\frac{3}{4}=\frac{2}{3}$. Таким образом, арифметика рациональных чисел богаче, чем арифметика целых чисел, так как рациональные числа позволяют выполнять все четыре арифметические операции.

Поскольку множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций, а множество целых чисел — только относительно трех, говорят, что арифметика рациональных чисел богаче, чем арифметика целых чисел.