ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 238 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции на заданной области определения и укажите ее наименьшее и наибольшее значения:

а) $y = x^2 — 3$, где $-2 \leqslant x \leqslant 3$;
б) $y = -3x^2 + 2$, где $-2 \leqslant x \leqslant 2$;
в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$, где $-4 \leqslant x \leqslant 0$;
г) $y = 4 — \frac{1}{4}x^2$, где $-4 \leqslant x \leqslant 2$.

а) $y = x^2 — 3$, где $-2 \leqslant x \leqslant 3$;

Наибольшее значение функции: $y_{\text{max}} = 9$;
Наименьшее значение функции: $y_{\text{min}} = -3$;

б) $y = -3x^2 + 2$, где $-2 \leqslant x \leqslant 2$;

Наибольшее значение функции: $y_{\text{max}} = 2$;
Наименьшее значение функции: $y_{\text{min}} = -10$;

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$, где $-4 \leqslant x \leqslant 0$;

Наибольшее значение функции: $y_{\text{max}} = 9$;
Наименьшее значение функции: $y_{\text{min}} = 1$;

г) $y = 4 — \frac{1}{4}x^2$, где $-4 \leqslant x \leqslant 2$;

Наибольшее значение функции: $y_{\text{max}} = 4$;
Наименьшее значение функции: $y_{\text{min}} = 0$;

а) $y = x^2 — 3$, где $-2 \leqslant x \leqslant 3$;

Функция представляет собой параболу с коэффициентом при $x^2$ равным $1$, что означает, что парабола открывается вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$, так как сдвиг параболы по оси $y$ составляет $-3$.

Наибольшее значение: Парабола возрастает на интервале $(0; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0)$. Следовательно, наибольшее значение функции будет в точке правого конца отрезка области определения $x = 3$. Подставляем это значение в уравнение:

$$y = 3^2 — 3 = 9 — 3 = 6$$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{\text{max}} = 6$.

Наименьшее значение: Наименьшее значение функции будет в вершине параболы. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$, так как при $x = 0$ значение функции равно $y = 0^2 — 3 = -3$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{\text{min}} = -3$.

б) $y = -3x^2 + 2$, где $-2 \leqslant x \leqslant 2$;

Это парабола, открывающаяся вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-3$, что отрицательно. Вершина параболы будет находиться в точке $(0, 2)$, так как сдвиг по оси $y$ равен $2$.

Наибольшее значение: Парабола убывает на интервале $(0; +\infty)$ и возрастает на интервале $(-\infty; 0)$, так что наибольшее значение функции будет в вершине, которая находится в точке $(0, 2)$. Подставляем $x = 0$ в уравнение:

$$y = -3(0)^2 + 2 = 2$$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{\text{max}} = 2$.

Наименьшее значение: Парабола убывает на интервале $(0; +\infty)$, следовательно, наименьшее значение функции будет на правом конце отрезка области определения при $x = 2$. Подставляем $x = 2$ в уравнение:

$$y = -3(2)^2 + 2 = -3(4) + 2 = -12 + 2 = -10$$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{\text{min}} = -10$.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$, где $-4 \leqslant x \leqslant 0$;

Это парабола, открывающаяся вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2}$, что положительно. Вершина параболы будет находиться в точке $(0, 1)$, так как сдвиг по оси $y$ равен $1$.

Наибольшее значение: Парабола возрастает на интервале $(0; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0)$, следовательно, наибольшее значение функции будет на левом конце отрезка области определения $x = -4$. Подставляем $x = -4$ в уравнение:

$$y = \frac{1}{2}(-4)^2 + 1 = \frac{1}{2}(16) + 1 = 8 + 1 = 9$$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{\text{max}} = 9$.

Наименьшее значение: Наименьшее значение функции будет в вершине параболы. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$, так как при $x = 0$ значение функции равно $y = 1$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{\text{min}} = 1$.

г) $y = 4 — \frac{1}{4}x^2$, где $-4 \leqslant x \leqslant 2$;

Это парабола, открывающаяся вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{4}$, что отрицательно. Вершина параболы будет находиться в точке $(0, 4)$, так как сдвиг по оси $y$ равен $4$.

Наибольшее значение: Парабола убывает на интервале $(0; +\infty)$ и возрастает на интервале $(-\infty; 0)$, следовательно, наибольшее значение функции будет в вершине, которая находится в точке $(0, 4)$. Подставляем $x = 0$ в уравнение:

$$y = 4 — \frac{1}{4}(0)^2 = 4$$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{\text{max}} = 4$.

Наименьшее значение: Парабола убывает на интервале $(0; +\infty)$, следовательно, наименьшее значение функции будет на правом конце отрезка области определения при $x = 2$. Подставляем $x = 2$ в уравнение:

$$y = 4 — \frac{1}{4}(2)^2 = 4 — \frac{1}{4}(4) = 4 — 1 = 3$$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{\text{min}} = 0$.