ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 230 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ и $y=-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$;
б) $y=x^3$ и $y=-x^3$;
в) $y=\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$;
г) $y=\frac{2}{x}$ и $y=-\frac{2}{x}$.

а) $y=\{\begin{array}{ll}-x,& \text{если }x\le 1\\ x^2,& \text{если }x>1\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=\mathrm{|x|\; —\; уравнение\; прямой:}$

2) y=$-$$\mathrm{|x|}$— уравнение параболы:

б) $y=\{\begin{array}{ll}-2x^2,& \text{если }x<0\\ -x+2,& \text{если }x\ge 0\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=-2x^2$ — уравнение параболы:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$

$\mathrm{2)\; y}=-x+2$ — уравнение прямой:

в) $y=x^3$ и $y=-x^3$

$\mathrm{1)\; y}=x^3$ — уравнение кубической параболы:

$\mathrm{2)\; y}=-x^3$ — уравнение кубической параболы:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 8 & 1 & 0 & -1 & -8 \\ \hline \end{array}$

г) $y=\frac{2}{x}$ и $y=-\frac{2}{x}$

$\mathrm{1)\; y}=\frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы в I и III четвертях:

$\mathrm{2)\; y}=-\frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы во II и IV четвертях:

а) $y=\{\begin{array}{ll}-x,& \text{если }x\le 1\\ x^2,& \text{если }x>1\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=$$\mathrm{|x|}$— уравнение прямой:

График функции $y=-x$ представляет собой прямую, которая имеет угловой коэффициент $-1$. Это означает, что при увеличении $x$, значение $y$ уменьшается. Параметр $x$ изменяется по оси $x$, а $y$ — по оси $y$. Прямая пересекает ось $y$ в точке $(0;0)$, и её график будет наклонен вниз, с углом наклона 45° по отношению к осям.

Для вычисления значений функции подставим несколько значений $x$:

• При $x=-1$, $y=-(-1)=1$,
• При $x=0$, $y=-(0)=0$,
• При $x=1$, $y=-(1)=-1$.

Таблица значений:

 — уравнение параболы:

График функции $y=x^2$ представляет собой параболу, которая открывается вверх. Вершина параболы расположена в точке $(0;0)$. Парабола симметрична относительно оси $y$, и значения $y$ увеличиваются при увеличении $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, то есть при увеличении или уменьшении значения $x$ значения функции будут возрастать.

Для вычисления значений функции подставим несколько значений $x$:

• При $x=1$, $y=(1{)}^2=1$,
• При $x=2$, $y=(2{)}^2=4$,
• При $x=3$, $y=(3{)}^2=9$.

Таблица значений:

График функции:

График состоит из двух частей:

• Для $x\le 1$ график будет прямой $y=-x$, которая будет наклонена вниз и пересечет ось $y$ в точке $(0;0)$.
• Для $x>1$ график будет параболой $y=x^2$, которая будет открываться вверх, и её вершина будет находиться в точке $(0;0)$.

Таким образом, график функции будет представлять собой разрывную функцию, где для $x\le 1$ будет прямолинейная часть, а для $x>1$ будет параболическая часть. Точка $(1;-1)$ будет принадлежать прямой, но не будет на параболе, так как для $x>1$ парабола начинает расти, и значение функции будет больше, чем $-1$.

Ответ: График построен.

б) $y=\{\begin{array}{ll}-2x^2,& \text{если }x<0\\ -x+2,& \text{если }x\ge 0\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=-2x^2$ — уравнение параболы:

График функции $y=-2x^2$ представляет собой параболу, которая открывается вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Вершина параболы будет находиться в точке $(0;0)$, и по мере увеличения $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, значения $y$ будут уменьшаться.

Для вычисления значений функции подставим несколько значений $x$:

• При $x=-2$, $y=-2\times (-2{)}^2=-8$,
• При $x=-1$, $y=-2\times (-1{)}^2=-2$,
• При $x=0$, $y=-2\times (0{)}^2=0$.

Таблица значений:

$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& 0& 1& 4& 9\\ y& 0& 1& 2& 3\end{array}}$

$\mathrm{2)\; y}=-x+2$ — уравнение прямой:

График функции $y=-x+2$ представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом $-1$. Эта прямая будет пересекать ось $y$ в точке $(0;2)$, и наклон будет отрицательным, то есть при увеличении $x$, значение $y$ будет уменьшаться.

Для вычисления значений функции подставим несколько значений $x$:

• При $x=0$, $y=-(0)+2=2$,
• При $x=1$, $y=-(1)+2=1$,
• При $x=2$, $y=-(2)+2=0$.

Таблица значений:

График функции:

График функции состоит из двух частей:

• Для $x<0$ график будет параболой $y=-2x^2$, которая направлена вниз, и значения $y$ будут уменьшаться по мере увеличения $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.
• Для $x\ge 0$ график будет прямой $y=-x+2$, которая пересекает ось $y$ в точке $(0;2)$ и убывает.

Наименьшее значение:
Парабола $y=-2x^2$ не имеет наименьшего значения, так как при $x\to -\mathrm{\infty }$, $y\to -\mathrm{\infty }$.

Ответ: нет, функция не имеет наименьшего значения.

Наибольшее значение:
Прямая $y=-x+2$ имеет наибольшее значение при $x=0$, где $y=2$, и после этого значения функции начинают уменьшаться.

Ответ: да, функция имеет наибольшее значение, равное $y_{\text{max}}=2$, и это значение достигается при $x=0$.

в) $y=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x},& \text{если }x\ge 0\\ -\sqrt{x},& \text{если }x>0\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=\sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:

График функции $y=\sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, которая существует только для $x\ge 0$. Эта ветвь открывается вправо, начиная с точки $(0;0)$, и значения $y$ увеличиваются с увеличением $x$. Это типичный график для функции корня.

Для вычисления значений функции подставим несколько значений $x$:

• При $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$,
• При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$,
• При $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$.

Таблица значений:

$\mathrm{2)\; y}=-\sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:

График функции $y=-\sqrt{x}$ также представляет собой ветвь параболы, но направленную вниз, и существующую только для $x\ge 0$. Значения $y$ уменьшаются с увеличением $x$, начиная с точки $(0;0)$.

Для вычисления значений функции подставим несколько значений $x$:

• При $x=0$, $y=-\sqrt{0}=0$,
• При $x=1$, $y=-\sqrt{1}=-1$,
• При $x=4$, $y=-\sqrt{4}=-2$.

Таблица значений:

$\overline{)\begin{array}{cccccc}x& -2& -1& 0& 1& 2\\ y& 8& 1& 0& -1& -8\end{array}}$

График функции:

График функции состоит из двух частей:

• Для $x\ge 0$, график будет ветвью параболы $y=\sqrt{x}$, открывающейся вправо.
• Для $x\ge 0$, график будет ветвью параболы $y=-\sqrt{x}$, открывающейся вниз.

Наименьшее значение:
Функция не имеет наименьшего значения, так как $y=-\sqrt{x}$ убывает до $-\mathrm{\infty }$ при $x\to +\mathrm{\infty }$.

Ответ: нет, функция не имеет наименьшего значения.

Наибольшее значение:
Функция имеет наибольшее значение при $x=0$, где $y=0$, так как для всех других $x>0$ значения $y$ уменьшаются для $y=-\sqrt{x}$ и увеличиваются для $y=\sqrt{x}$.

Ответ: да, функция имеет наибольшее значение, равное $y_{\text{max}}=0$, и это значение достигается при $x=0$.

г) $y=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x},& \text{если }x>0\\ -\frac{2}{x},& \text{если }x<0\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=\frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы в I и III четвертях:

График функции $y=\frac{2}{x}$ представляет собой гиперболу, которая имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$. Эта гипербола существует для $x>0$ и стремится к бесконечности по мере приближения к нулю, а для больших $x$ значения функции стремятся к нулю. График будет располагаться в I четверти, где $y>0$, и в III четверти, где $y<0$.

Для вычисления значений функции подставим несколько значений $x$:

• При $x=1$, $y=\frac{2}{1}=2$,
• При $x=2$, $y=\frac{2}{2}=1$,
• При $x=4$, $y=\frac{2}{4}=0.5$.

Таблица значений:

$\mathrm{2)\; y}=-\frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы во II и IV четвертях:

График функции $y=-\frac{2}{x}$ также представляет собой гиперболу, но с противоположным знаком, то есть для $x<0$ график будет располагаться в II четверти, где $y>0$, а для $x>0$ график будет располагаться в IV четверти, где $y<0$. Ассимптоты такие же, как у первой гиперболы, но функция меняет знак.

Для вычисления значений функции подставим несколько значений $x$:

• При $x=-1$, $y=-\frac{2}{-1}=2$,
• При $x=-2$, $y=-\frac{2}{-2}=1$,
• При $x=-4$, $y=-\frac{2}{-4}=0.5$.

Таблица значений:

График функции:

График функции состоит из двух гипербол:

• Для $x>0$, график будет гиперболой $y=\frac{2}{x}$, которая будет располагаться в I и IV четвертях.
• Для $x<0$, график будет гиперболой $y=-\frac{2}{x}$, которая будет располагаться в II и III четвертях.

Наименьшее значение:
Функция не имеет наименьшего значения, так как $y=\frac{2}{x}$ стремится к нулю, но не достигает его, а $y=-\frac{2}{x}$ может принимать всё более отрицательные значения при $x\to -\mathrm{\infty }$.

Ответ: нет, функция не имеет наименьшего значения.

Наибольшее значение:
Функция не имеет наибольшего значения, так как при $x\to 0^{+}$ значения $y=\frac{2}{x}\to +\mathrm{\infty }$, а при $x\to 0^{-}$ значения $y=-\frac{2}{x}\to -\mathrm{\infty }$.

Ответ: нет, функция не имеет наибольшего значения.