ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 222 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

а) $y=\frac{1}{2}{x}^2$ и $y=\frac{1}{2}x+1$;

б) $y=2x^2$ и $y=-2x+4$;

в) $y=-0.5x^2$ и $y=\frac{4}{x}$;

г) $y=-2x^2$ и $y=-\frac{2}{x}$.

а) $y=\frac{1}{2}{x}^2$ и $y=\frac{1}{2}x+1$:

$\mathrm{1)\; y}=0.5x+1$ — уравнение прямой:

$\mathrm{2)\; y}=0.5x^2$ — уравнение параболы:

Точки пересечения: $(2;2)$ и $(-1;\frac{1}{2})$.

б) $y=2x^2$ и $y=-2x+4$:

$\mathrm{1)\; y}=-2x+4$ — уравнение прямой:

$\mathrm{2)\; y}=2x^2$ — уравнение параболы:

Точки пересечения: $(1;2)$ и $(-2;8)$.

в) $y=\frac{4}{x}$ и $y=-0.5x^2$:

$\mathrm{1)\; y}=\frac{4}{x}$ — уравнение гиперболы в I и III четвертях:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y_x & -1 & -2 & -4 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$

$\mathrm{2)\; y}=-0.5x^2$ — уравнение параболы:

Точка пересечения: $(-2;-2)$.

г) $y=-\frac{2}{x}$ и $y=-2x^2$:

$\mathrm{1)\; y}=-\frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы во II и IV четвертях:

$\mathrm{2)\; y}=-2x^2$ — уравнение параболы:

Точка пересечения: $(1;-2)$.

а) $y=\frac{1}{2}{x}^2$ и $y=\frac{1}{2}x+1$:

$\mathrm{1)y}=0.5x+1$ — уравнение прямой:

Уравнение прямой имеет вид $y=mx+b$, где $m=0.5$ — это угловой коэффициент, а $b=1$ — это свободный член, который указывает на пересечение прямой с осью $y$. Прямая имеет положительный угловой коэффициент, поэтому она будет подниматься слева направо, а её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0;1)$.

$\mathrm{2)\; y}=0.5x^2$ — уравнение параболы:

Уравнение параболы имеет вид $y=a{x}^2+b$, где $a=0.5$ и $b=0$. Парабола открывается вверх, так как коэффициент $a>0$. Вершина параболы находится в точке $(0;0)$, и она симметрична относительно оси $y$. Это означает, что при $x$ больше или меньше нуля значение функции будет расти.

Для нахождения точек пересечения этих графиков приравняем обе функции:

$$0.5x^2=0.5x+1$$

Переносим все в одну сторону:

$$0.5x^2-0.5x-1=0$$

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных:

$$x^2-x-2=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(1)(-2)}}{2(1)}=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

Получаем два корня:

$$x_1=\frac{1+3}{2}=2,x_2=\frac{1-3}{2}=-1$$

Теперь подставим эти значения $x$ обратно в уравнение для $y$, чтобы найти координаты точек пересечения:

• Для $x=2$, $y=0.5(2{)}^2=2$.
• Для $x=-1$, $y=0.5(-1{)}^2=0.5$.

Точки пересечения: $(2;2)$ и $(-1;0.5)$.

б) $y=2x^2$ и $y=-2x+4$:

$\mathrm{1)\; y}=-2x+4$ — уравнение прямой:

Уравнение прямой имеет вид $y=mx+b$, где $m=-2$ — это угловой коэффициент, а $b=4$ — это свободный член, который указывает на точку пересечения прямой с осью $y$. Эта прямая имеет отрицательный угловой коэффициент, что означает, что она убывает слева направо, а её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0;4)$.

$\mathrm{2)\; y}=2x^2$ — уравнение параболы:

Уравнение параболы имеет вид $y=a{x}^2+b$, где $a=2$ и $b=0$. Парабола открывается вверх, так как коэффициент $a>0$. Вершина параболы находится в точке $(0;0)$, и она симметрична относительно оси $y$.

Для нахождения точек пересечения этих графиков приравняем обе функции:

$$2x^2=-2x+4$$

Переносим все в одну сторону:

$$2x^2+2x-4=0$$

Разделим на 2:

$$x^2+x-2=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4(1)(-2)}}{2(1)}=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$

Получаем два корня:

$$x_1=\frac{-1+3}{2}=1,x_2=\frac{-1-3}{2}=-2$$

Теперь подставим эти значения $x$ обратно в уравнение для $y$, чтобы найти координаты точек пересечения:

• Для $x=1$, $y=2(1{)}^2=2$.
• Для $x=-2$, $y=2(-2{)}^2=8$.

Точки пересечения: $(1;2)$ и $(-2;8)$.

в) $y=\frac{4}{x}$ и $y=-0.5x^2$:

$\mathrm{1)\; y}=\frac{4}{x}$ — уравнение гиперболы в I и III четвертях:

График функции $y=\frac{4}{x}$ представляет собой гиперболу, которая имеет асимптоты на осях $x$ и $y$. Функция имеет значения, определённые на интервалах $(-\mathrm{\infty };0)$ и $(0;+\mathrm{\infty })$, и график будет располагаться в первой и третьей четвертях.

$\mathrm{2)\; y}=-0.5x^2$ — уравнение параболы:

Уравнение параболы имеет вид $y=a{x}^2+b$, где $a=-0.5$ и $b=0$. Парабола открывается вниз, так как коэффициент $a<0$. Вершина параболы находится в точке $(0;0)$, и её ветви направлены вниз.

Для нахождения точек пересечения этих графиков приравняем обе функции:

$$\frac{4}{x}=-0.5x^2$$

Умножим обе стороны на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$4=-0.5x^3$$

Умножим обе стороны на 2:

$$8=-x^3$$

Извлекаем кубический корень:

$$x=-2$$

Теперь подставим $x=-2$ обратно в уравнение для $y$, чтобы найти координату $y$:

$$y=\frac{4}{-2}=-2$$

Точка пересечения: $(-2;-2)$.

г) $y=-\frac{2}{x}$ и $y=-2x^2$:

$\mathrm{1)\; y}=-\frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы во II и IV четвертях:

График функции $y=-\frac{2}{x}$ представляет собой гиперболу, которая имеет асимптоты на осях $x$ и $y$. График будет располагаться во второй и четвёртой четвертях.

$\mathrm{2)\; y}=-2x^2$ — уравнение параболы:

Уравнение параболы имеет вид $y=a{x}^2+b$, где $a=-2$ и $b=0$. Парабола открывается вниз, так как коэффициент $a<0$.

Для нахождения точек пересечения этих графиков приравняем обе функции:

$$-\frac{2}{x}=-2x^2$$

Умножим обе стороны на $x$:

$$-2=-2x^3$$

Разделим обе стороны на -2:

$$1=x^3$$

Извлекаем кубический корень:

$$x=1$$

Теперь подставим $x=1$ обратно в уравнение для $y$, чтобы найти координату $y$:

$$y=-2(1{)}^2=-2$$

Точка пересечения: $(1;-2)$.