ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 212 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

a) $y=x^2+4x+7$;
б) $y=-2x^2+4x-4$.

При построении пользуйтесь следующим планом:

1) найдите пару симметричных точек параболы, взяв, например, в качестве одной из них точку пересечения с осью $y$;

2) далее действуйте по плану, приведенному в упражнении 209, начиная с пункта 2.

Как вы думаете, почему в данном случае первый пункт был заменен? Предложите еще какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

а) Функция: $y=x^2+4x+7$

1) Точка пересечения с осью $y$ ($x=0$):

$$y(0)=0^2+4\cdot 0+7=0+7=7;$$

2) Симметричная точка (точка с такой же ординатой):

$$x^2+4x+7=7;$$

$$$$$$x^2+4x=0;$$

$$$$$$x(x+4)=0,\text{ тогда: }$$

$$$$$$x_1=0;$$

$$$$$$x_2+4=0,\text{ отсюда }{x}_2=-4;$$

Точки симметрии $(0;7)$ и $(-4;7)$;

3) Ось симметрии равноудалена от точек с равными ординатами:

$$x=\frac{0-4}{2}=-2;$$

4) Координаты вершины параболы:

$$x=-2\text{и}y(-2)=(-2{)}^2+4\cdot (-2)+7=4-8+7=3;$$

5) Координаты некоторых других точек:

$$y(-5)=(-5{)}^2+4\cdot (-5)+7=25-20+7=12;$$$$y(-3)=(-3{)}^2+4\cdot (-3)+7=9-12+7=4;$$$$y(-1)=(-1{)}^2+4\cdot (-1)+7=1-4+7=4;$$$$y(1)=1^2+4\cdot 1+7=1+4+7=12;$$

6) График функции:

б) Функция: $y=-2x^2+4x-4$

1) Точка пересечения с осью $y$ ($x=0$):

$$y(0)=-2\cdot 0^2+4\cdot 0-4=-4;$$

2) Симметричная точка (точка с такой же ординатой):

$$-2x^2+4x-4=-4;$$

$$$$$$-2x^2+4x=0\mathrm{\mid }:(-2);$$

$$$$$$x^2-2x=0;$$

$$$$$$x(x-2)=0,\text{ тогда: }$$

$$$$$$x_1=0;$$

$$$$$$x_2-2=0,\text{ отсюда }{x}_2=2;$$

Точки симметрии $(0;-4)$ и $(2;-4)$;

3) Ось симметрии равноудалена от точек с равными ординатами:

$$x=\frac{0+2}{2}=1;$$

4) Координаты вершины параболы:

$$x=1\text{и}y(1)=-2\cdot 1^2+4\cdot 1-4=-2+4-4=-2;$$

5) Координаты некоторых других точек:

$$y(-1)=-2\cdot (-1{)}^2+4\cdot (-1)-4=-2\cdot 1-4-4=-2-8=-10;$$$$y(3)=-2\cdot 3^2+4\cdot 3-4=-2\cdot 9+12-4=-18+8=-10;$$

6) График функции:

Первый пункт был заменен, потому что данные функции не имеют нулей.

Для нахождения симметричных точек также можно:

• Взять произвольное значение аргумента;
• Найти значение функции при этом аргументе;
• Найти значение второго аргумента при таком значении функции;
• Если второго значения аргумента нет, значит данная точка является вершиной параболы.

вершиной параболы$\boxed{}$

а) Функция: $y=x^2+4x+7$

1) Точка пересечения с осью $y$ ($x=0$):

Для того чтобы найти точку пересечения функции с осью $y$, нужно подставить $x=0$ в уравнение функции. Получаем:

$$y(0)=0^2+4\cdot 0+7=7.$$

Это значит, что точка пересечения функции с осью $y$ имеет координаты $(0,7)$.

2) Симметричная точка (точка с такой же ординатой):

Для того чтобы найти вторую точку симметрии, необходимо решить уравнение $x^2+4x+7=7$, так как мы ищем точку, где ордината равна 7. Упростим уравнение:

$$x^2+4x=0,$$$$x(x+4)=0.$$

Решая это уравнение, получаем два корня:

$$x_1=0,x_2=-4.$$

Таким образом, вторая точка симметрии имеет координаты $(-4,7)$, и обе точки симметрии — $(0,7)$ и $(-4,7)$.

3) Ось симметрии равноудалена от точек с равными ординатами:

Ось симметрии параболы — это прямая, которая проходит через середину отрезка, соединяющего точки симметрии. Для этого нужно вычислить среднее значение между абсциссами этих точек:

$$x=\frac{0-4}{2}=-2.$$

Таким образом, ось симметрии параболы — это прямая $x=-2$.

4) Координаты вершины параболы:

Вершина параболы находится на оси симметрии, то есть при $x=-2$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$$y(-2)=(-2{)}^2+4\cdot (-2)+7=4-8+7=3.$$

Таким образом, координаты вершины параболы — $(-2,3)$.

5) Координаты некоторых других точек:

Теперь найдем координаты нескольких других точек функции:

• $y(-5)$:

$$y(-5)=(-5{)}^2+4\cdot (-5)+7=25-20+7=12.$$

• $y(-3)$:

$$y(-3)=(-3{)}^2+4\cdot (-3)+7=9-12+7=4.$$

• $y(-1)$:

$$y(-1)=(-1{)}^2+4\cdot (-1)+7=1-4+7=4.$$

• $y(1)$:

$$y(1)=1^2+4\cdot 1+7=1+4+7=12.$$

6) График функции:

Теперь, зная координаты точек $(-5,12)$, $(-3,4)$, $(-1,4)$, $(1,12)$ и вершины $(-2,3)$, можно построить график функции.

б) Функция: $y=-2x^2+4x-4$

1) Точка пересечения с осью $y$ ($x=0$):

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$$y(0)=-2\cdot 0^2+4\cdot 0-4=-4.$$

Точка пересечения функции с осью $y$ имеет координаты $(0,-4)$.

2) Симметричная точка (точка с такой же ординатой):

Решим уравнение $-2x^2+4x-4=-4$:

$$-2x^2+4x=0\mathrm{\mid }:(-2),$$

$$$$$$x^2-2x=0,$$

$$$$$$x(x-2)=0.$$

Получаем два корня:

$$x_1=0,x_2=2.$$

Таким образом, вторая точка симметрии имеет координаты $(2,-4)$, и обе точки симметрии — $(0,-4)$ и $(2,-4)$.

3) Ось симметрии равноудалена от точек с равными ординатами:

Ось симметрии параболы проходит через середину отрезка, соединяющего две симметричные точки. Вычислим среднее значение между абсциссами этих точек:

$$x=\frac{0+2}{2}=1.$$

Таким образом, ось симметрии параболы — это прямая $x=1$.

4) Координаты вершины параболы:

Вершина параболы находится на оси симметрии, то есть при $x=1$. Подставим это значение в уравнение функции:

$$y(1)=-2\cdot 1^2+4\cdot 1-4=-2+4-4=-2.$$

Таким образом, координаты вершины параболы — $(1,-2)$.

5) Координаты некоторых других точек:

Теперь найдем координаты нескольких других точек функции:

• $y(-1)$:

$$y(-1)=-2\cdot (-1{)}^2+4\cdot (-1)-4=-2-4-4=-10.$$

• $y(3)$:

$$y(3)=-2\cdot 3^2+4\cdot 3-4=-2\cdot 9+12-4=-18+8=-10.$$

6) График функции:

Теперь, зная координаты точек $(-1,-10)$, $(3,-10)$, и вершины $(1,-2)$, можно построить график функции.

Первый пункт был заменен, потому что данные функции не имеют нулей.

Для нахождения симметричных точек также можно:

• Взять произвольное значение аргумента;
• Найти значение функции при этом аргументе;
• Найти значение второго аргумента при таком значении функции;
• Если второго значения аргумента нет, значит данная точка является вершиной параболы.