ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 207 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите нули функции $y=f(x)$ или покажите, что их нет:

а) $f(x)=x^2-7x+10$;

б) $f(x)=-x^2+5x-7$;

в) $f(x)=2x^2-8x-8$;

г) $f(x)=6x^2-5x+1$.

В каждом случае опишите полученный результат на геометрическом языке. Попробуйте схематически изобразить соответствующую параболу в координатной плоскости.

а) $f(x)=x^2-7x+10$;

1) Нули функции: $x^2-7x+10=0$;

$D=7^2-4\cdot 10=49-40=9$, тогда:

$x_1=\frac{7-3}{2}=2$,

$x_2=\frac{7+3}{2}=5$;

2)График функции:

График функции $f(x)$ пересекает ось $x$ в точках с абсциссами 2 и 5;

Ответ: $x=2$ и $x=5$.

б) $f(x)=-x^2+5x-7$;

1) Нули функции: $-x^2+5x-7=0$;

$D=5^2-4\cdot 7=25-28=-3$;

$D<0$, значит решений нет;

2)График функции:

График функции $f(x)$ не пересекает ось $x$;

Ответ: функция не имеет нулей.

в) $f(x)=2x^2-8x-8$;

1) Нули функции: $2x^2-8x-8=0\mathrm{\mid }:2$;

$x^2-4x-4=0$;

$D=4^2+4\cdot 4=16+16=32$, тогда:

$x=\frac{4\pm \sqrt{32}}{2}=2\pm \sqrt{8}$;

2)График функции:

График функции $f(x)$ пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $2\pm \sqrt{8}$;

Ответ: $x=2\pm \sqrt{8}$.

г) $f(x)=6x^2-5x+1$;

1) Нули функции: $6x^2-5x+1=0$;

$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1$, тогда:

$x_1=\frac{5-1}{6\cdot 2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,

$x_2=\frac{5+1}{6\cdot 2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$;

2)График функции:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y_x & -12 & 1 & 2 & 15 \\ \hline \end{array}$

График функции $f(x)$ пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$;

Ответ: $x=\frac{1}{3}$ и $x=\frac{1}{2}$.

а) $f(x)=x^2-7x+10$;

1)Нули функции:

Нули функции — это значения $x$, при которых функция $f(x)$ равна нулю. Для нахождения нулей решим уравнение:

$$f(x)=0\Rightarrow x^2-7x+10=0$$

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант.

Дискриминант для квадратного уравнения

$a{x}^2+bx+c=0$

вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

Здесь $a=1$, $b=-7$, и $c=10$.

Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 10=49-40=9$$

Так как дискриминант положительный ($D=9$), у уравнения два различных корня.

Для нахождения корней используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b=-7$, $D=9$, и $a=1$:

$$x_1=\frac{-(-7)-\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{7-3}{2}=\frac{4}{2}=2$$

$$x_2=\frac{-(-7)+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{7+3}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Таким образом, корни уравнения — $x_1=2$ и $x_2=5$.

Это означает, что график функции пересекает ось $x$ в точках $(2;0)$ и $(5;0)$.

2)График функции:

График функции $f(x)=x^2-7x+10$ является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент при $x^2$положительный.

Парабола пересекает ось $x$ в точках $(2;0)$ и $(5;0)$.

Эти точки являются нулями функции. Вершина параболы будет находиться между этими точками, а её абсцисса вычисляется как среднее арифметическое корней:

$$x_{\text{верш}}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2+5}{2}=3,5$$

Это значение абсциссы вершины параболы.

б) $f(x)=-x^2+5x-7$;

1)Нули функции:

Для нахождения нулей функции решим уравнение

$f(x)=0$:

$$f(x)=0\Rightarrow -x^2+5x-7=0$$

Вычислим дискриминант для этого уравнения. Для квадратного уравнения

$a{x}^2+bx+c=0$

дискриминант:

$$D=b^2-4ac$$

Здесь $a=-1$,  $b=5$, и$c=-7$ .

Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=5^2-4\cdot (-1)\cdot (-7)=25-28=-3$$

Так как дискриминант $D=-3$ отрицателен, у уравнения нет действительных корней.

Это означает, что график функции не пересекает ось $x$, и функция не имеет нулей.

2)График функции:

График функции $f(x)=-x^2+5x-7$— это парабола, направленная вниз

(так как коэффициент при $x^2$отрицателен).

Поскольку дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось $x$, и, следовательно, функция не имеет нулей.

в) $f(x)=2x^2-8x-8$;

1)Нули функции:

Для нахождения нулей функции решим уравнение $f(x)=0$:

$$f(x)=0\Rightarrow 2x^2-8x-8=0$$

Разделим обе части на 2, чтобы упростить уравнение:

$$x^2-4x-4=0$$

Теперь решим это уравнение с использованием дискриминанта.

Для уравнения $a{x}^2+bx+c=0$

дискриминант вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

Здесь $a=1$, $b=-4$, и $c=-4$.

Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)=16+16=32$$

Дискриминант положительный, следовательно, у уравнения два различных корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b=-4$, $D=32$, и $a=1$:

$$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{32}}{2\cdot 1}=\frac{4-\sqrt{32}}{2}=2-\sqrt{8}$$

$$x_2=\frac{-(-4)+\sqrt{32}}{2\cdot 1}=\frac{4+\sqrt{32}}{2}=2+\sqrt{8}$$

Таким образом, корни уравнения — $x_1=2-\sqrt{8}$ и $x_2=2+\sqrt{8}$.

Это означает, что график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

2)График функции:

График функции $f(x)=2x^2-8x-8$ является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный.

Парабола пересекает ось $x$ в точках, соответствующих корням $x_1=2-\sqrt{8}$ и $x_2=2+\sqrt{8}$.

Эти точки — нули функции.

г) $f(x)=6x^2-5x+1$;

1)Нули функции:

Для нахождения нулей функции решим уравнение $f(x)=0$:

$$f(x)=0\Rightarrow 6x^2-5x+1=0$$

Вычислим дискриминант для этого уравнения:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня.

Для нахождения корней используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b=-5$, $D=1$, и $a=6$:

$$x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 6}=\frac{5-1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

$$x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 6}=\frac{5+1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$

Таким образом, корни уравнения — $x_1=\frac{1}{3}$ и $x_2=\frac{1}{2}$.

Это означает, что график функции пересекает ось $x$ в точках $(\frac{1}{3},0)$ и $(\frac{1}{2},0)$.

2)График функции:

$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -1& 0& 1& 2\\ y_x& -12& 1& 2& 15\end{array}}$

График функции $f(x)=6x^2-5x+1$

является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент при $x^2$положительный.

Парабола пересекает ось $x$ в точках $x_1=\frac{1}{3}$ и $x_2=\frac{1}{2}$.

Эти точки — нули функции.