ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 203 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите на рисунке 2.2 график функции $y = f(x)$, где

$$f(x) = \frac{1}{4}x^3 + 2x + 4.$$

Определите по графику и вычислите по формуле:

а) $f(0)$, $f(-10)$, $f(2)$;

б) значения аргумента $x$, при которых $f(x) = 0$, $f(x) = 4$, $f(x) = 9$.

$y = f(x)$, где $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$ — график № 1;

1)Значения функции:
$f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 4 = 0 + 4 = 4;$

$f(-10) = \frac{1}{4} \cdot (-10)^2 + 2 \cdot (-10) + 4 = \frac{1}{4} \cdot 100 — 20 + 4 = 25 — 16 = 9;$

$f(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 4 + 4 = 1 + 8 = 9;$

2)Значения аргумента:
$f(x) = 0;$
$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 0 \quad | \cdot 4;$
$x^2 + 8x + 16 = 0;$
$(x + 4)^2 = 0;$
$x + 4 = 0,$ отсюда $x = -4;$

$f(x) = 4;$

$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 4;$

$\frac{1}{4}x^2 + 2x = 0 \quad | \cdot 4;$

$x^2 + 8x = 0;$

$x(x + 8) = 0,$ тогда:

$x_1 = 0;$

$x_2 + 8 = 0,$ отсюда $x_2 = -8;$

$f(x) = 9;$

$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 9;$

$\frac{1}{4}x^2 + 2x — 5 = 0 \quad | \cdot 4;$

$x^2 + 8x — 20 = 0;$

$D = 8^2 + 4 \cdot 20 = 64 + 80 = 144,$ тогда:

$x_1 = \frac{-8 — 12}{2} = -10 \quad и \quad x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2;$

$y = f(x)$, где $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$ — график № 1;

1)Значения функции:

Нам нужно вычислить значения функции $f(x)$ для заданных $x$.

• Для $f(0)$:

$$f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4$$

Значение функции в точке $x = 0$ равно 4.

• Для $f(-10)$:

$$f(-10) = \frac{1}{4} \cdot (-10)^2 + 2 \cdot (-10) + 4 = \frac{1}{4} \cdot 100 — 20 + 4 = 25 — 20 + 4 = 9$$

Значение функции в точке $x = -10$ равно 9.

• Для $f(2)$:

$$f(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 4 + 4 = 1 + 4 + 4 = 9$$

Значение функции в точке $x = 2$ равно 9.

2)Значения аргумента:

Теперь найдём значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ равна указанным значениям.

• Для $f(x) = 0$:

$$f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 0$$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2 + 8x + 16 = 0$$

Это квадратное уравнение можно решить методом выделения полного квадрата. Перепишем его так:

$$(x + 4)^2 = 0$$

Из этого следует, что:

$$x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4$$

Таким образом, при $f(x) = 0$ значение $x = -4$.

• Для $f(x) = 4$:

$$f(x) = 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 4$$

Отнимем 4 с обеих сторон:

$$\frac{1}{4}x^2 + 2x = 0$$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2 + 8x = 0$$

Теперь можно вынести $x$ за скобки:

$$x(x + 8) = 0$$

Это уравнение имеет два решения:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -8$$

Таким образом, при $f(x) = 4$ значения $x$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.

• Для $f(x) = 9$:

$$f(x) = 9 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 9$$

Отнимем 9 с обеих сторон:

$$\frac{1}{4}x^2 + 2x — 5 = 0$$

Умножим обе части на 4:

$$x^2 + 8x — 20 = 0$$

Теперь найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня. Найдём их с помощью формулы:

$$x_1=\frac{-8-\sqrt{144}}{2\cdot 1}=\frac{-8-12}{2}=\frac{-20}{2}=-10$$

$$x_1 = \frac{-8 — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 — 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$ $$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Таким образом, при $f(x) = 9$ значения $x$ равны $x_1 = -10$ и $x_2 = 2$.