ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 199 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Заполните таблицу значений функции и постройте ее график:

а) $y=x^2-6x+5;$
б) $y=-x^2+2x+3;$$$

$y = -x^2 + 2x + 3;$

В каждом случае ответьте на вопросы:

1)Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение, и чему оно равно? При каком $x$ функция принимает это значение?

2)Пересекает ли график функции прямую $y=10$? $y=-10$?

а) $y = x^2 — 6x + 5$:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & x^2 — 6x + 5 & y \\ \hline -1 & 1 + 6 + 5 & 12 \\ \hline 0 & 0 — 0 + 5 & 5 \\ \hline 1 & 1 — 6 + 5 & 0 \\ \hline 2 & 4 — 12 + 5 & -3 \\ \hline 3 & 9 — 18 + 5 & -4 \\ \hline 4 & 16 — 24 + 5 & -3 \\ \hline 5 & 25 — 30 + 5 & 0 \\ \hline 6 & 36 — 36 + 5 & 5 \\ \hline 7 & 49 — 42 + 5 & 12 \\ \hline \end{array}$$

1) Имеет наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -4$ при $x = 3$;

2) Пересекает прямую: $y = 10$;

б) $y = -x^2 + 2x + 3$:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -x^2 + 2x + 3 & y \\ \hline -3 & -9 — 6 + 3 & -12 \\ \hline -2 & -4 — 4 + 3 & -5 \\ \hline -1 & -1 — 2 + 3 & 0 \\ \hline 0 & -0 + 0 + 3 & 3 \\ \hline 1 & -1 + 2 + 3 & 4 \\ \hline 2 & -4 + 4 + 3 & 3 \\ \hline 3 & -9 + 6 + 3 & 0 \\ \hline 4 & -16 + 8 + 3 & -5 \\ \hline 5 & -25 + 10 + 3 & -12 \\ \hline \end{array}$$

$y = x^2 — 6x + 5;$$$$y = -x^2 + 2x + 3;$

1)Имеет наибольшее значение: $y_{\text{max}}=4$ при $x=1;$

2)Пересекает прямую: $y=-10;$

а) $y=x^2-6x+5;$

1)Для нахождения наименьшего значения функции $y=x^2-6x+5$ необходимо привести её к каноническому виду. Для этого найдём вершину параболы, используя формулу для абсциссы вершины:

$$x=\frac{-b}{2a}$$

где $a=1$, $b=-6$. Подставляем значения:

$$x=\frac{-(-6)}{2(1)}=\frac{6}{2}=3$$

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в исходную функцию для нахождения соответствующего значения $y$:

$$y=(3{)}^2-6(3)+5=9-18+5=-4$$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{\text{min}}=-4$, и оно достигается при $x=3$.

2)Для того чтобы узнать, пересекает ли график функции прямую $y=10$, нужно решить уравнение:

$$x^2-6x+5=10$$

Переносим 10 влево:

$$x^2-6x-5=0$$

Решаем квадратное уравнение по формуле:

$$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6{)}^2-4(1)(-5)}}{2(1)}=\frac{6\pm \sqrt{36+20}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{56}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{14}}{2}$$

Получаем два корня:

$$x=3+\sqrt{14}\text{или}x=3-\sqrt{14}$$

Таким образом, график функции пересекает прямую $y=10$ в двух точках.

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& x^2-6x+5& y\\ -1& 1+6+5& 12\\ 0& 0-0+5& 5\\ 1& 1-6+5& 0\\ 2& 4-12+5& -3\\ 3& 9-18+5& -4\\ 4& 16-24+5& -3\\ 5& 25-30+5& 0\\ 6& 36-36+5& 5\\ 7& 49-42+5& 12\end{array}}$$

б) $y=-x^2+2x+3;$

1)Для нахождения наибольшего значения функции $y=-x^2+2x+3$, также используем формулу для абсциссы вершины параболы. Здесь $a=-1$, $b=2$. Подставляем значения:

$$x=\frac{-2}{2(-1)}=\frac{-2}{-2}=1$$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в исходную функцию:

$$y=-(1{)}^2+2(1)+3=-1+2+3=4$$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{\text{max}}=4$, и оно достигается при $x=1$.

2)Чтобы узнать, пересекает ли график функции прямую $y=-10$, решим уравнение:

$$-x^2+2x+3=-10$$

Переносим $-10$ влево:

$$-x^2+2x+13=0$$

Умножаем обе части уравнения на -1:

$$x^2-2x-13=0$$

Решаем квадратное уравнение по формуле:

$$x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4(1)(-13)}}{2(1)}=\frac{2\pm \sqrt{4+52}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{56}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{14}}{2}$$

Получаем два корня:

$$x=1+\sqrt{14}\text{или}x=1-\sqrt{14}$$

Таким образом, график функции пересекает прямую $y=-10$ в двух точках.

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& -x^2+2x+3& y\\ -3& -9-6+3& -12\\ -2& -4-4+3& -5\\ -1& -1-2+3& 0\\ 0& -0+0+3& 3\\ 1& -1+2+3& 4\\ 2& -4+4+3& 3\\ 3& -9+6+3& 0\\ 4& -16+8+3& -5\\ 5& -25+10+3& -12\end{array}}$$